2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算学案新人教B版选修2_1.doc

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1、3．1.1　空间向量的线性运算　1.了解空间向量的有关概念．　2.理解空间向量及运算、空间向量推广的意义．　3．能利用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何问题．1．空间向量的概念2．空间向量的加法、减法和数乘向量运算(1)加法：a＋b＝．(2)减法：a－b＝．(3)数乘：λa：

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、，当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa为零向量．(4)线性运算律①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋

8、λb．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间中，单位向量唯一．(　　)13(2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(　　)(3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(　　)(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(　　)(5)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√2．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中＝a，＝b，＝c，则等于(　　)A．a＋b＋cB．a＋b－cC．a－b－cD．－a＋b＋c解析：选C．画图可得＝－＝

9、－(＋)＝－(＋)＝a－b－c.3．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，

10、－＋

11、＝________．解析：

12、－＋

13、＝

14、＋＋

15、＝

16、

17、＝.答案：　空间向量的基本概念　(1)给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝－；③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；④在四边形ABCD中，必有＋＝.其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，①单位向量共有多少个？

18、②试写出模为的所有向量．【解】　(1)①正确；②正确，因为与的大小相等方向相反，即为互为相反向量，13所以＝－；③

19、a

20、＝

21、b

22、，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＋＝.综上可知，正确命题为①②.故填①②.(2)①由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的，，，，，，，这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，共8个．解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个

23、要素，即大小和方向．(2)注意点：①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．　　如图所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，给定的下列各对向量：①与　②与③与　④与其中是相反向量的有________对．解析：与是相反向量；与是相反向量．故有2对．答案：2　空间向量的线性运算　如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并标出化简结果

24、的向量：13(1)－；(2)＋＋；(3)＋－.【解】　(1)－＝＋＝＋＝.(2)＋＋＝.(3)设M是线段AC′的中点，则＋－＝＋＋＝(＋＋)＝＝.向量、如图所示．　本例条件不变，化简(－)－(－)．解：法一：(统一成加法)原式＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.法二：(利用－＝)原式＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则．在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加、减法之间可相互转化．　　在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和

25、BC的中点，化简下列各表达式．13(1)＋＋；(2)(＋－)．解：(1)因为G是△BCD的重心，所以

26、

27、＝

28、

29、，所以＝.又因为＝，所以由向量的加法法则，可知＋＝＋＝，＋＝＋＝.从而＋＋＝.(2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有＝，＝，而＋＝，＝，所以(＋－)＝＋－＝－＝.　空间向量线性运算的应用　利用空间向量知识证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．【证明】　如图所示，平行六面体ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，则＝＝(＋＋)．设P、M、N分别是BD

30、′、CA′、DB′的中点，则＝＋13＝＋＝＋(＋＋)＝＋(－＋＋)＝(＋＋)同理可证：＝(＋＋)，＝(＋＋)．由此可知O，P，M，N四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分