2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算学案新人教a版选修2

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1、3.1.1　空间向量及其加减运算学习目标　1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.知识点一　空间向量的概念思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.梳理　(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为

2、a

3、或

4、

5、.(2)几类特殊的空间向量名称定义及

6、表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二　空间向量的加减运算及运算律思考1　下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.答案　如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.思考2　由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？答案　先

7、将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则.梳理　(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.(2)空间向量加法交换律a＋b＝b＋a，空间向量加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).类型一　有关空间向量的概念的理解例1　给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足

8、a

9、＝

10、b

11、，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是(　　

12、)A.1B.2C.3D.4答案　B解析　两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足

13、a

14、＝

15、b

16、，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确.故选B.反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练1　(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　)A.1B.2

17、C.3D.4答案　B解析　对于①与，③与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对.(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？②试写出模为的所有向量.③试写出与向量相等的所有向量.④试写出向量的所有相反向量.解　①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，

18、，，，.③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.④向量的相反向量有，，，.类型二　空间向量的加减运算例2　如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)－；(2)＋＋.解　(1)－＝－＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示.引申探究利用例2题图，化简＋＋＋.解　结合加法运算＋＝，＋＝，＋＝0.故＋＋＋＝0.反思与感悟　(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，＋＋＋＋＋＋＋＝0.(3)空间

19、向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b).(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律.(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝，a＋(b＋c)＝＋(＋)＝＋＝，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).跟踪训练2　在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴＝＋，＝＋，＝＋，∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)