高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算讲义新人教A版.docx

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1、3．1.1　空间向量及其加减运算1．空间向量(1)定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度向量的大小叫做向量的长度或模．(3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.②单位向量：模为1的向量称为单位向量．③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a.④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．2．空间向量的加减法(1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：＝＋＝a＋b；＝－＝a－b.(2

2、)加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．(　　)(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(　　)(3)0向量是长度为0，没有方向的向量．(　　)(4)若

3、a

4、＝

5、b

6、，则a＝b或a＝－b.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．(2)

7、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，－＋化简后的结果是________．(3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式：①－＝________.②＋＋＝________.③＋－＝________.(4)(教材改编P86T3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示向量，则＝________.答案　(1)球面　(2)　(3)①　②　③　(4)＋＋解析　(4)＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋(－＋)＝＋＋.探究1　　空间向量的概念例1　给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的

8、起点相同，则终点必相同；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤只有零向量的模为0.其中假命题的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4[解析]　①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模长也相等，应有＝.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同

9、，故不一定相等．⑤真命题．根据零向量的定义可知．[答案]　A拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．(2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】　(1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向

10、量；②若a，b满足

11、a

12、＞

13、b

14、且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量与向量的长度相等．其中正确命题的序号为________．答案　④解析　①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如≠但

15、

16、＝

17、

18、，④正确．(2)给出下列命题：①若

19、a

20、＝0，则a＝0；②若a＝0，则－a＝0；③

21、－a

22、＝

23、a

24、，其中正确命题的序号是________．答案　②③解析　①错误，若

25、a

26、＝0，则a＝0；②正确．③正确．探究2　　空间向量的加减运算例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中

27、，下列各式中运算结果为向量的是(　　)①(－)－；②(＋)－；③(－)－；④(－)＋.A．①②B．②③C．③④D．①④[解析]　①(－)－＝＋＋＝；②(＋)－＝＋＋＝＋＝；③(－)－＝＋＝－＝－＝≠；④(－)＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠.因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式的运算结果不为向量.故选A.[答案]　A[结论探究]　例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量的有哪些？①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(－)＋.解　①(＋)＋＝＋＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；④(－)＋＝(＋)＋＝＋＝.故①②③④式运算结果都是向量.拓展

28、提升1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四