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《3.1.1空间向量及其加减运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、空间向量及其运算例1 已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.变式1 下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是( )A.＝3－2－B.＝＋＋C.＋＋＋＝0D.＋＋＝0例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．试用、、表示向量.变式2 如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c例3 已知△A
2、BC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1，5)，C(3,2，－5)．(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC中AB边上的高．变式3 如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.求DP与CC′所成角的大小．A级1．下列说法中正确的是( )A．若
3、a
4、＝
5、b
6、，则a、b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则
7、a
8、＝
9、b
10、C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有＋＝2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( )A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa
11、＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c3．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是( )A.与B.与C.与D.与4．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D5．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.6．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.7．已知点A(－1,3,1)，B
12、(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则
13、
14、的值是________．B级8．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )A．30°B．45°C．60°D．90°9．已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为( )A.B．2C.D.10．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形11
15、．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：①＋＝；②－＝；③
16、
17、＋
18、
19、＝
20、
21、；④
22、
23、－
24、
25、＝
26、
27、.其中一定不成立的是________．12．如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．13．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，几何体EFG－ABC为三棱台，EG∶AC＝1∶2，若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；详解答案典型例题例1 0解析 因为＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，＝(2，－2,6)，若A，B，C三点共线，则∥，即＝－＝，解得λ＝0
28、，μ＝0，所以λ＋μ＝0.变式1 D [由于M、A、B、C四点共面⇔＝x＋y＋z(x，y，z∈R)且x＋y＋z＝1，∴选项A、B、C都不正确．由于＋＋＝0⇔＝－－，所以存在x＝－1，y＝－1，使＝x＋y，∴，，共面．由于M为公共点，∴M、A、B、C四点共面，故选D.]例2 解 ＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋(－＋)＝＋＋.变式2 A [＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，故选A.]例3 解 (1)由已知得＝(1，－3,2)，＝(2,0，－8)，∴
29、
30、＝＝，
31、
32、＝＝2，·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos〈，〉＝＝＝，sin〈，〉＝＝
33、.∴S△ABC＝
34、
35、·
36、
37、·sin〈，〉＝××2×＝3.(2)设AB边上的高为CD，则
38、
39、＝＝3.变式3 解 如图，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D－xyz.则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)，连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，·＝
40、
41、·
42、
43、·cos〈·〉，可得2m＝.解得m＝，所以＝(，，1)．可得cos〈，〉＝，所以〈，〉＝，即DP与CC′所成角的大小为.强化提高1．B [
44、a
45、＝
46、b
47、，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故
48、a
49、
50、＝
51、b
52、，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结
