塑性力学_第二章应力状态.doc

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1、第二章应力状态理论2.1应力和应力张量在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A分成A和B两部分(图2.1)。如将B部分移去，则B对A的作用应代之以B部分对A部分的作用力。这种力在B移去以前是物体内A与B之间在截面C的内力，且为分布力。如从C面上点P处取出一包括P点在内的微小面积元素，而上的内力矢量为，则内力的平均集度为／，如令无限缩小而趋于

2、点P，则在内力连续分布的条件下／趋于一定的极限o，即这个极限矢量就是物体在过c面上点P处的应力。由于为标量，故，的方向与的极限方向一致。内力矢量可分解为所在平面的外法线方向和切线方向两个分量和。同样，应力可分解为所在平面的外法线方向和切线方向两个分量。沿应力所在平面图2.1应力矢量的外法线方向n的应力分量称为正应力，记为，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为。此处脚注n标明其所在面的外法线方向，由此，面上的正应力和切应力分别为在上面的讨论中，过点P的平面C是任选的。显然，过点P可以做无穷多个这样的平面C，也就是说，过点P有无穷多个连续变化的n方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了如何

3、描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P处的应力状态，在点P处沿坐标轴x，y，z方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为，Δy，Δz。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负早规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴

4、的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正．反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均为正。应力及其分量的单位为Pa。图2.2应力表示法由图2.2可知，当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表一点处的应力。因此，一点处的应力分量共有9个，其中有3个正应力分量、6个切应力分量，由切应力互等定理可知，实际上独立的切应力分量只有3个。把这9个应力分量按一定规则排列，令其中每一行为过一点的一个面上的3个应力分量，即得如下应力张量，在数学上称之为二阶张量。其中，=(，，)，当，任取，，时，则得到相应的应力分量，

5、但，，分别简写为，，。应当指出，物体内各点的应力状态，一般并不是相同的，即非均匀分布的，因此各点的应力分量是坐标z，y，z的函数。所以，应力张量与给定点的空间位置有关，同时应力张量是针对物体中的某一确定点而言的，今后将会看到，应力张量完全确定了一点处的应力状态。张量符号与下标记号法使冗长的弹塑性力学公式变得简明醒目，在文献中已被广泛应用，今后将逐渐熟悉这种标记法。2.2二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。当受载物体所受的面力和体

6、力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z轴)无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。1.平面应力问题如果考虑如图2.3所示物体是一个很薄的平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即xy平面，z方向的体力分量及面力分量均为零，则板面上(处)应力分量为因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布，所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此，在垂直于z轴的任一微小面积上均有，图2.3平面应力问题根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有。因而对于平面应力状态的应力张量为也可写为如果方向的尺寸为有限量，仍假设，，且认为，和()为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。2.平面应变问题图2.

7、4平面应变问题如果物体纵轴方向(坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿轴均匀分布地作用在垂直于方向，如图2.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位移与所在方向的位置无关，即方向各点的位移均相同。令、、分别表示一点在、、坐标方向的位移分量，则有为常数。等于常数的位移并不伴随产生任一平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时，可取。此外，由于物体的变形只在平面内