塑性力学课件 应力应变状态 考试必备.ppt

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1、第二章应力状态和应变状态§2.1应力状态（一）应力张量及其分解、应力不变量1.应力张量物体内任意点处的应力状态可以用对称的应力张量表示：图2.1由剪应力互等定理知：用下标表示法，应力张量可表示为：（2—1）2.主平面和主应力每一点上存在三个互相正交的平面，在其上只有正应力而没有剪应力,称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。3.任意截面上的正应力和剪应力dF：斜面面积，lx，ly，lz：法线n的方向余弦，简记为li（i=1，2，3）。p：斜面上的总应力。px，py，pz：p沿三个坐标轴的分量，简记为pj（j=1，2，3）。l1dF，l2dF，l3dF：微元体三个坐标面的面积图2.2

2、由微元四面体的平衡方程可得：pj=σijli（2—2）斜面上的正应力σn为总应力P各分量pj沿n方向投影之和，即σn=pjlj（2—3）（2—2）代入（2—3）得（2—4）斜截面上的剪应力τn：（2—5）若斜截面是主平面，则τn=0p=σn=σ，即p沿n的方向，且等于主应力σ。故每一pj等于σ在该方向上的投影：pj=σlj（2—6）（2—6）代入（2—2），得到对于方向余弦的一组齐次线性方程：（2—7）4.主应力和主方向∵=1（2—8）∴l1，l2，l3不能同时为零。∴（2—7）式的系数行列式必为零。即=0（2—9）由此得：（2—10）（2—10）有三个实根，对应三个主应力。（2—

3、28）显然，这些根仅与该点的应力状态有关，与坐标轴的选择无关。∴I1，I2，I3也与坐标轴的选择无关。分别称为应力张量（2—1）式的第一、第二、第三不变量。以任一个主应力σj（j=1，2，3）代入（2—7），三个方程只有两个独立，利用其中的任意两个方程与（2—8）联立可解出主应力σj（j=1，2，3）的方向余弦，从而确定σj所在的主平面的方位。三个主平面的方位互相垂直。当x，y，z轴和三个主轴方向一致时，有：（2—12）平均应力：（2—13）因此，已知一点的应力张量，求该点的主应力和主方向的步骤为：（1）将各应力分量代入（2—11），求出应力不变量。（2）将应力不变量代入（2—10

4、），解方程求出三个主应力。（3）以任一个主应力σj（j=1，2，3）代入（2—7），三个方程只有两个独立，利用其中的任意两个方程与（2—8）联立可解出主应力σj（j=1，2，3）的方向余弦，从而确定σj所在的主平面的方位。【例1】试求下述应力状态下的主应力和主方向：【解】主应力方程为：即分解因式得：解得：将各应力分量和σ1=0代入（2—7）得：（第三个方程还是重复）。∵τ≠0，∴代入（2—8）得：σ1的方向余弦为同理可求，σ2的方向余弦为σ3的方向余弦为5.应力张量的分解平均应力的定义为：（2—13）在各方向同时作用有大小为σm的应力时，相当于静水压力（或反向的静水压力），不产生塑

5、性变形，所以从应力张量中将各向相同的σm分离出来，这对于研究塑性变形更为方便，即（2—14）令：（2—15）则（2—14）变成：（2—16）δij：Kronecker符号（2—17）σmδij：应力球张量，表示三向相等的正应力；sij：应力偏张量，简称应力偏量。【分解意义】只有应力偏量对塑性变形有影响，因此研究塑性变形时可以不考虑应力球张量，只考虑应力偏张量。应力偏张量也是一种可能单独存在的应力状态，也有自己的不变量。仿照（2—11）式得：（2—18）J1，J2，J3表示应力偏张量的第一、第二、第三不变量。当x，y，z轴方向和主轴重合时有：（2—19）由J1=0得：sx+sy+sz

6、=0，即sz=－(sx+sy)（2—20）（2—21）（2—22）将（2—20）、（2—21）、（2—22）代入（2—18）得：（2—23）（2—24）sij是对称张量，因此（2—23）式还可写为：（2—25）因此，求一点的应力偏量的第二不变量J2的方法是：（1）如果已知各应力分量，将各应力分量代入（2—18）的第二式。（2）如果已知三个主应力，将各主应力代入（2—19）的第二式。（3）也可将各应力偏张量代入（2—25）。（二）几种特定截面上的应力1.任意斜截面上的正应力和剪应力求得一点处的主平面的方向和主应力大小以后，选三个主应力方向1、2、3为坐标轴，设任意斜截面的法线为n，它

7、对于1、2、3轴的方向余弦为l1，l2，l3。设斜截面上的总应力p分解为沿三个主轴的分量p1，p2，p3。由图2.3所示的微元四面体的平衡得到：（2—26）图2.3图2.4斜截面上的正应力σn等于p1、p2、p3在法线n方向投影之和，即（2—27）斜截面上的剪应力τn为：（2—28）2.八面体面上的正应力和剪应力在图2.4中，主平面用Ⅰ表示，Ⅱ表示与三个主轴成相等倾斜角的斜截面，称为八面体面（或等倾面）。其方向余弦为：(2—29）设八面体面上的正应力、总应力和剪应力分