塑性力学-应力状态

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1、塑性力学第1章应力分析应力状态三维应力状态分析三维应力状态的主应力最大剪应力等倾面上的正应力和剪应力应力罗德参数与应力罗德角应力张量的分解平衡微分方程1.外力体力、面力(1)体力——弹性体内单位体积上所受的外力——体力分布集度（矢量）xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影单位：N/m3kN/m3说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等)(3)X、Y、Z的正负号由坐标方向确定。1－1应力状态(2)面力——作用于物体表面单位面积上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐标轴上投影单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=

2、106Pa=1MPa(兆帕)说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。2.应力(1)一点应力的概念dSdP内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)M(1)M点的内力面分布集度(2)应力矢量----M点的应力的极限方向由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度应力分量n(法线)应力的法向分量——正应力应力的切向分量——剪应力单位:与面力相同MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的斜截面上的应力斜截面上的总应力斜截面上的正应力和剪应力平面应力状态主应力与应力主向最大剪应力摩尔应力圆x面的应力：y面

3、的应力：z面的应力：1－2三维应力状态用矩阵表示：其中，只有6个量独立。剪应力互等定理应力符号的意义：第1个下标x表示τ所在面的法线方向；第2个下标y表示τ的方向.应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。剪应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO与材力中剪应力τ正负号规定的区别：xy规定使得单元体顺时转的剪应力τ为正，反之为负。在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题xyzO四面体受力图在某点处取出一无限小四面体。它的三个面分别与x、y、z三个轴相垂直。另一面即为任意倾斜面，其法线为v，其方向余弦为l、m、n。pv利用力的平衡条件，可得任意斜截

4、面上的应力pv作用于任一斜截面上的应力向量分量可以用作用在与坐标轴垂直的三个面上的应力向量分量来表示。上式可作为力的边界条件的表达式。1－3三维应力状态的主应力在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力和剪应力。如果在某一方向剪应力为零，则此方向即称为主方向（应力主向），而这时在该面上的正应力便称为主应力。如果v方向为主应力平面的方向，则有pvx=xl，pvy＝ym，pvz=zn，则得几何关系l,m,n不能同时为零，因此前式为包括三个未知量l,m,n的线性齐次方程。若有非零解，则此方程组的系数行列式应当等于零，即展开行列式得到其中I1、I2、I3不随坐标方向不同而变，称为应力张量

5、不变量，分别称为应力张量第一（一次）不变量、第二（二次）不变量与第三（三次）不变量。解一元三次方程，得三个主应力1,2,3。I1、I2、I3可用主应力表示如下：求解主应力时，先求出各应力张量不变量，再解一元三次方程。【例】已知一点的应力状态由如下应力分量确定，即试求主应力的值。【解】求各应力张量不变量，I1=3，I2=-6，I3=-8，代入一元三次方程得解得斜截面上的正应力和剪应力设斜截面上的正应力为v,则由投影可得若三个坐标轴的方向为主方向，且主应力大小顺序按x,y,z排列，则总应力为斜截面上的剪应力为三维应力圆三维应力状态下任意斜截面上的正应力和剪应力，在以三个主应力组成的应

6、力圆所围成的阴影的范围之内。最大剪应力等于最大和最小正应力值之差的一半。1－4最大剪应力主应力平面上的剪应力为零；最大剪应力位于坐标轴分角面上，而三个最大剪应力分别等于三个主应力两两之差的一半。在主应力坐标系中（1,2,3分别代表1,2,3）主应力与最大剪应力作用面及其方向余弦1-5等倾面上的正应力和剪应力等倾面就是和三个主应力轴成相同角度（5444'）的面，等倾面的法线方向也与三个主应力轴成相同的角度。法线v为空间对角线，也称为等倾线。等倾面法线的方向余弦l,m,n可由下式确定则等倾面上的正应力和剪应力主应力空间：以三个主应力为轴而组成的笛卡儿坐标系若将1,2,3轴在等倾

7、面上投影，则在等倾面上可以得到互相成120角的三个坐标轴。等倾面及其上应力向量在等倾线上的投影0向量在等倾面上的投影00与轴1在等倾面上的投影之间的夹角称为应力状态的特征角，cos为应力形式指数。等倾面上一点的应力状态八面体上的正应力与剪应力偏平面如果等倾面上的正应力0=0，？？如果0=0，等倾面过原点，则此等倾面称为平面。平面上没有正应力，只有剪应力，只有应力偏张量，所以平面又叫偏平面