塑性力学-第二章 应力状态和应变状态

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1、第二章应力状态和应变状态§2.1应力状态（一）应力张量及其分解、应力不变量图2.1物体内任意点处的应力状态可以用对称的应力张量表示：xxyxzyxyyzzxzyz由剪应力互等定理知：,,xyyxzxxzzyyz用下标表示法，（i，j=1，2，3）。令x=x1，y=x2，z=x3，应力张量可表示为：ij111213=（2—1）ij212223313233由弹性力学知，每一点上存在三个互相正交的主平面，在其上只

2、有正应力而没有剪应力，其上的正应力称为主应力。图2.29图2.2所示微元四面体由三个坐标面和一个斜面所组成。其中：dF：斜面面积，lx，ly，lz：法线n的方向余弦，简记为li（i=1，2，3）。p：斜面上的总应力。px，py，pz：p沿三个坐标轴的分量，简记为pj（j=1，2，3）。l1dF，l2dF，l3dF：微元体三个坐标面的面积由微元四面体的平衡方程可得：pj=σijli（2—2）斜面上的正应力σn为总应力P沿法线n方向的分量，它应当等于各分量pj沿n方向投影之和，即σn=pjlj（2—3）（2

3、—2）代入（2—3）得：222=lilj=lll2ll2ll2ll（2—4）nijx1y2z3xy12yz23zx31斜截面上的剪应力τn为：2222222pppp（2—5）nnxyzn若斜截面是主平面，则τn=0p=σn=σ，即p沿n的方向，且等于σ。故每一pj等于σ在该方向上的投影：pj=σlj（2—6）（2—6）代入（2—2），得到对于方向余弦的一组齐次线性方程：σijli－σlj=0（2—7）222∵lllll=1（2—8）123ii∴l1，l

4、2，l3不能同时为零。∴（2—7）式的系数行列式必为零。即xxyxz=0（2—9）yxyyzzxzyz由此得：32III=0（2—10）123式中，I1xyz222I()2xyyzzxxyyzzxxxyxz（2—11）I3yxyyzzxzyz2222xyzxyyzzxzyzyzxzxy（2—10）有三个实根，对应三个主应力，，。123显然，这些根仅与该点的应力

5、状态有关，与坐标轴的选择无关。∴I1，I2，I3也与坐标轴的选择无关。分别称为应力张量（2—1）式的第一、第二、第三不变量。以任一个主应力σj（j=1，2，3）代入（2—7），三个方程只有两个独立，利用其中的任意两个方程与（2—8）联立可解出主应力σj（j=1，2，3）的方向余弦，从而确定σj所在的主平面的10方位。可以证明，三个主平面的方位互相垂直。当x，y，z轴和三个主轴方向一致时：I1123I()（2—12）2122331I3123111平均应力：I

6、（2—13）m1123xyz333由§1.4中Bridgman的试验结果可知，在各方向同时作用有大小为的应力时，相当于静水m压力（或反向的静水压力），它不产生塑性变形，所以从应力张量中将各向相同的分离出来，m对于研究塑性变形更为方便，即xxyxzm00xmxyxz00（2—14）yxyyzmyxymyz00mzxzyzzxzyzmsssx

7、xyxzxmxyxz令：ssssijyxyyzyxymyzssszxzyzzxzyzm（2—15）则（2—14）变成：s（2—16）ijmijij：Kronecker符号，其定义为：ij1,当ijij（2—17）0当ij：应力球张量，表示三向相等的正应力；mijs：应力偏张量，简称应力偏量。ij应力偏张量也是一种可能单独存在的应力状态，也有自己的不变量。J1，J2，J3表示应力偏张量的第一、第二、第三不变量，仿照（2—

8、11）式可得：Jsss31xyzxyzm222J(ssssss)2xyyzzxxyyzzx（2—18）1222222[()()()6()]xyyzzxxyyzzx6222Jsss2sss3xyzxyyzzxzyzyzxzxy当x，y，z轴方向和主轴重合时：J011222J[()()()]（2—19）21223316J