《弹塑性力学》第二章 应力分析

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1、第二章应力分析§2-1内力和外力§2-2应力矢量和应力张量§2-3应力分量转换公式§2-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量§2-5最大正应力和剪应力§2-6应力张量的分解§2-7平衡微分方程、力的边界条件7/9/20211§2-1内力和外力1.1外力：物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。7/9/20212§2-1内力和外力1.外部体力：作用在物体单位体积（质量）x1Px3x2VF量纲：

2、力/（长度）3。求V中任意点P上承受体力采用极限方法：上的力,如重力（或惯性力）7/9/20213§2-1内力和外力2.外部面力：作用在物体外部表面力其中为沿三个坐标轴分量。x1Px3x2SF如静水压力、土压力等。量纲：力/（长度）2。求物体表面上任意一点P上受面力仍采用极限方法：7/9/20214§2-1内力和外力其中为沿三个坐标轴分量。7/9/20215§1-1内力和外力1.2内力：物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。在材力和结力中以N、M、Q形式出现，但在弹力中常以应力来描述。7/9/20216§2-2应力和应力张量2.

3、1应力矢量当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P的内力可采取如下方法：过P点设一个截面S将V分为两部分：（相互有作用力与反作用力）7/9/20217§2-2应力矢量和应力张量FnSPV+F+F-n+n-V+V-S+S-一部分：V+、S+、外法线、合力；另一部分：V-、S-、外法线、合力；截面上的合力：或2.1应力矢量7/9/20218§2-2应力矢量和应力张量FnSPV+2.1应力矢量截面上P点上的内力情况，在V+上S面围绕P点取S，S上合力为。应

4、力矢量（作用在V+）：应力矢量与P点位置有关，与截面方向（方向）有关。7/9/20219§2-2应力矢量和应力张量量纲为力/（长度）2。当截面不变时，应力矢量具有一个方向性。取V-：作用在V-上。当P点的截面与坐标面平行时，7/9/202110§2-2应力矢量和应力张量x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA定理：过P点以单位外法线截面上的应量、、力矢量是作用在通过P点坐标平面的应力矢的线性函数、其系数是的方向余弦，7/9/202111§2-2应力矢量和应力张量即：x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t

5、(1)fnPCBA7/9/202112§2-2应力矢量和应力张量则设证：可得x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA7/9/202113§2-2应力矢量和应力张量而代入上式，并忽略高阶微量根据微元体的平衡，得x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA7/9/202114§2-2应力矢量和应力张量或展开为或x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA7/9/202115§2-2应力矢量和应力张量2.2应力张量每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法

6、线为x1t1x1(x)x3(z)x2(y)1112137/9/202116§2-2应力矢量和应力张量沿三个坐标面的应力矢量由九个元素(分量)表示,这九个分量组成一个二阶张量：7/9/202117§2-2应力矢量和应力张量这九个分量的两个下标：第一个表示应力矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力矢量的分量的方向。应力分量的正负：在正面上应力分量指向坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分量指向坐标负向为正，反之为负。7/9/202118下面说明一下[]为张量：柯西公式（Canchyformula）由商法则可知§2-2应力矢

7、量和应力张量[]为一二阶张量7/9/202119斜面上的应力矢量沿正交坐标系分解§2-2应力矢量和应力张量[]为一二阶张量，7/9/202120根据柯西公式斜面上的应力矢量沿正交坐标系分量：§2-2应力矢量和应力张量7/9/202121§2-2应力矢量和应力张量定理：作用在过P点任一截面的应力矢量完全由该点的应力张量线性表出。量关系且是以三个坐标分量表示.柯西公式表示了应力张量与任一斜面上应力矢7/9/202122§2-2应力矢量和应力张量其中，斜面法向应力：应力矢量也可沿斜面法向和切向分解7/9/202123§2-2应力矢量

8、和应力张量7/9/202124§2-2应力矢量和应力张量7/9/202125作业：1。在物体中一点P的应力张量为，求（1）过P点且外法线为的面上的应力矢量；（2）的大小；（3）与的夹角（4）求的法向分量；（5）切向分量。7/9/202126作业：2