高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆教学案 北师大版选修.doc

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1、§1椭__圆1．1　椭圆及其标准方程椭圆的定义设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？提示：相同．问题2：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？提示：不能．

2、椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．椭圆的定义定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于

3、F1F2

4、)的点的集合叫作椭圆焦点两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点焦距两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距集合语言P＝{M

5、

6、MF1

7、＋

8、MF2

9、＝2a,2a＞

10、F1F2

11、}椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．问题1：若动点P满足

12、PA

13、＋

14、PB

15、＝6，则P点的轨迹方程是什么？提示：＋＝1.问题2：若动点P满足

16、PC

17、＋

18、PD

19、＝6，则动点

20、P的轨迹方程是什么？提示：＋＝1.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点坐标(±c,0)(0，±c)a、b、c的关系a2－b2＝c21．平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，当2a>

21、F1F2

22、时，点M的轨迹是椭圆；当2a＝

23、F1F2

24、时，点M的轨迹是一条线段F1F2；当2a<

25、F1F2

26、时，点M的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x2项的分母大于含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之焦点在y轴上．椭圆的标准方程[例1]　写出适合下列条件

27、的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．[思路点拨]　求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a和b的值．[精解详析]　(1)焦点在y轴上，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)⇒⇒⇒∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得所以所求椭圆的方程为＋＝1

28、.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得舍去，故所求椭圆的方程为＋＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．依题意有解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.[一点通]　求椭圆标准方程的一般步骤为：1．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以即解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.答案：D2．已知椭圆的焦

29、点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为______________．解析：由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.答案：＋x2＝13．求焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B的椭圆的标准方程．解：法一：若焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，依题意，有解得a2＝4，b2＝1.若焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，同理这与a>b矛盾．故所求椭圆方程为＋y2＝1.法二：设椭圆的方程为mx2＋n

30、y2＝1(m>0，n>0，m≠n)．将A，B坐标代入得解得故所求椭圆方程为＋y2＝1.椭圆的定义及应用[例2]　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．[思路点拨]　因为∠PF1F2＝120°，

31、F1F2

32、＝2c，所以要求S△PF1F2，只要求

33、PF1

34、即可．可由椭圆的定义

35、PF1

36、＋

37、PF2

38、＝2a，并结合余弦定理求解．[精解详析]　由已知a＝2，b＝，所以c＝＝1，

39、F1F2

40、＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得

41、PF2

42、

43、2＝

44、PF1

45、2＋

46、F1F2

47、2－2

48、PF1

49、·

50、F1F2

51、·cos120°，即

52、PF2

53、2＝

54、PF1

55、2＋4＋2

56、PF1

57、.①由椭圆定义，得

58、PF1

59、＋

60、PF2

61、＝4，即

62、PF2

63、＝4－

64、PF1

65、.②将②代入①解得

66、PF1

67、＝，∴S△PF1F2＝

68、PF1

69、·

70、F1F2

71、·sin120°＝××2×＝.因此所求△PF1F2的面积是.[一点通]　椭