高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程导学案 北师大版选修.doc

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1、2.1.1　椭圆及其标准方程学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.知识点一　椭圆的定义思考1　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？答案　固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.思考2　在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？答案　笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长.梳理　把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离

4、叫作椭圆的焦距.知识点二　椭圆的标准方程思考1　椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案　椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半.a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.思考2　椭圆定义中，为什么要限制常数

5、PF1

6、＋

7、PF2

8、＝2a>

9、F1F2

10、?答案　只有当2a>

11、F1F2

12、时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝

13、F1F2

14、时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<

15、F1F2

16、时，满足条件的点不存在.梳理　焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)

17、＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2类型一　求椭圆的标准方程命题角度1　焦点位置已知求椭圆的方程例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝；(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点.解　(1)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.①又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①，得4b2－b2＝6，解得b2＝2，∴a2＝8.又∵焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)方法一　椭圆＋＝1的焦点为(－4，0)和(4，0)，由椭圆的定义可得2a＝＋，∴2a＝12，即a＝6

18、.∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，∴椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1，将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.反思与感悟　用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程.跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－，)；(2)焦点在x轴上，且经过两个点(2，0)和(0，1).解　(1)∵椭圆的焦

19、点在y轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).又椭圆经过点(2，0)和(0，1)，∴∴∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.命题角度2　焦点位置未知求椭圆的方程例2　求经过(2，－)和两点的椭圆的标准方程.解　方法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).由已知条件得解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).同理，得a2＝4，b2＝8，而a2

20、点在y轴上矛盾.综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).将点(2，－)，代入，得解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.反思与感悟　如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，再解答.跟踪训练2　求经过A(0，2)和B(，)两点的椭圆的标准方程.解　方法一　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵A(0，2)，B(，)在椭圆上，∴解得这与a>b相矛盾，

21、故应舍去.当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵A(0，2)，B(，)在椭圆上，∴解得∴椭圆的标准方程为＋x2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为＋x2＝1.方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).∵A(0，2)，B(，)在椭圆上，∴∴∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.类型二　椭圆方程中参数的取值范围例3　“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是(