高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 3.1 相似三角形的判定学案 新人教A版选修.doc

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1、1．相似三角形的判定1．了解三角形相似的定义．2．掌握相似三角形的判定定理，以及直角三角形相似的判定方法．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1　相似三角形的有关概念阅读教材P10“定义”部分，完成下列问题．1．定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．2．相似比相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．教材整理2　相似三角形的判定阅读教材P10～P15“思考”以上部分，完成下列问题．1．预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理名称定理内容简述判定定理1对于任意两个三角形，如果一

2、个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.两角对应相等，两三角形相似．判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.三边对应成比例，两三角形相似.　如图131所示，在△ABC中，FD∥GE∥BC，则与△AFD相似的三角形有(　　)【导学号：】图131A．1个　　　B．2个C．3个D．4个【解析】　∵FD∥GE∥BC，∴△AFD∽△AGE

3、∽△ABC.【答案】　B教材整理3　直角三角形的相似阅读教材P13～P16“相似三角形的性质”以上部分，完成下列问题．1．引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．2．直角三角形相似的判定定理：(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．下列判断中，不正确的是(　　)A．两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似B

4、．斜边和一直角边长分别是2，4和，2的两个直角三角形相似C．两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似【解析】　由直角三角形相似判定定理知A，B，D正确．【答案】　C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]相似三角形的判定　如图132，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.图132(1)求证：△ABF∽△EAD；(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长．【精彩点拨】　(1)要证△ABF∽△E

5、AD，易知∠1＝∠2，只需再找一对角相等，即可利用判定定理1证明两三角形相似．(2)解Rt△ABE可求得AE的长．【自主解答】　(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1＝∠2，∠C＋∠D＝180°.又∵∠C＝∠BFE，∠BFE＋∠BFA＝180°，∴∠D＝∠BFA，∴△ABF∽△EAD.(2)∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE＝90°.在Rt△AEB中，∠1＝30°，AB＝4，∴AE＝＝＝.判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理，还缺少什么条件就推导出这些条件．[再练一题]1．如图133，已知在△ABC中，AB＝

6、AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BDC.图133【证明】　∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.　证明线段成比例　如图134，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，连接ED并延长与AB的延长线交于F.求证：＝.图134【精彩点拨】　由条件知：AB∶AC＝BD∶AD，转证BD∶AD＝DF∶AF，变为证△FAD∽△FDB.其中BD∶AD正是两对相似三角形的中间比．【自主解答】　∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴

7、∠C＝∠BAD，Rt△ADB∽Rt△CDA，∴＝.又∵E是AC的中点，∴AE＝DE＝EC，∴∠DAE＝∠ADE，∴∠BAD＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△FDB∽△FAD.∴＝，即＝.1．本题根据＝，把欲证明的问题转化为证明＝是解题的关键．2．求证的成比例线段所在的三角形不相似时，应考虑用中间比过渡，也就是转证其他三角形相似，得到比例线段，最后得证结论．[再练一题]2．如图135所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，AC，BD相交于点O，BE∥AD交AC的延长线于点E.求证：OA2＝OC·OE