高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 三 相似三角形的判定及性质达标训练 新人教a版选修4-1

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1、三相似三角形的判定及性质更上一层楼基础·巩固1如图1-3-10，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB=2∶3，则S下标△ADE∶S下标BCED为（）图1-3-10A.2∶3B.4∶9C.4∶5D.4∶21思路解析:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.又AD∶DB=2∶3，∴AD∶AB=2∶5.其面积比为4∶25，则S△ADE∶S四边形BCED=4∶21.答案：D2如图1-3-11所示，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（）图1-3-11A.11

2、.25mB.6.6mC.8mD.10.5m思路解析:本题是一个实际问题，可抽象为如下的数学问题：如右图，等腰△AOC∽等腰△BOD,OA=1m,OB=16m,高CE=0.5m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB=CE∶DF，即1∶16=0.5∶DF，解得DF=8m.答案：C3有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12cm,高AD=8cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为（）A.18cm2或cm2B.20cm2或18cm2C

3、.16cm2D.15cm2思路解析:本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为xcm,则长为2xcm,由HG∥BC,得△AHG∽△ABC，得cmS矩形EFGH=2x2=cm2；如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ=18cm2.答案：A4如图1-3-12，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，那么CD=_________.图1-3-12思路解析:先根据已知条件和隐含条件证明两个三角形相

4、似，即△ABC∽△DAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段.答案：45如果两个相似三角形的面积比为9∶4，那么它们的相似比为_______________.思路解析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方直接开平方即可.答案：3∶26如图1-3-13，△ABC中∠C为直角，△DEF中∠F为直角，DE⊥AC，交AC于G，交AB于H，DF⊥AB，交AB于I，求证:△ABC∽△DEF.图1-3-13证明：∵HI⊥DF，EF⊥DF,∴HI∥EF，∠DIH=∠DFE=90°.∴∠DHI=∠DEF.∴△DHI∽△DE

5、F.∵∠DIH=∠AGH=90°，∠DHI=∠AHG,∴△DHI∽△AHG.∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB=90°,∴△AGH∽△ACB.∴△ABC∽△DEF综合·应用7如图1-3-14，已知∠ACB=∠ADE，∠ABC=∠AED，求证:∠ABE=∠ACD.图1-3-14思路分析:∠ABE和∠ACD分别位于△ABE和△ACD中，显然不可以利用全等来证明这两个角相等，但这两个角所在的两个三角形能相似吗？从已知条件中给的四个角分别在△ABC和△AED中，由它们相等不难证明△ABC∽△AED，这一对三角形的相似，沟通了我们想要

6、证明的两个三角形的关系，沟通了两个角的关系.这里使用了“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定方法.证明：∵∠ABC=∠AED，∠ACB=∠ADE,∴△ABC∽△AED.∴,∠BAC=∠EAD.∴.∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC,即∠BAE=∠CAD.∴△ABE∽△ACD.（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）∴∠ABE=∠ACD.8如图1-3-15，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点.求证:BP2=PE·PF.图1-3-15思路分析:因为BP

7、、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC的中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了.证明：连结PC，在△ABC中，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD垂直平分BC.∴PB=PC.∴∠1=∠2.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2.∴∠3=∠4.∵CF∥AB，∴∠3=∠F.∴∠4=∠F.又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PF

8、C.∴.∴PC2=PE·PF.∵PC=PB，∴PB2=PE·PF.（等线段代换）9如图1-3-16，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB=2∶3∶4，求S△ADE∶S四边形DEGF∶S四边形BCGF.图1-3-16思路分析:要求题目中的三部分的面积比，必须先求出△ADE,△AFG和△AB