高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 三 相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、1．相似三角形的判定1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等

2、，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．　在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它

3、们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．　对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．相似三角形的判定　如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.　已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理

4、1.　∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1.如图，D，E分别是AB，AC上的两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是(　　)A．∠B＝∠CB．∠ADC＝∠AEBC．BE＝CD，AB＝ACD．AD∶AC＝AE∶AB解

5、析：选C　在选项A、B的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在D项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等．故选项A、B、D都能推出两三角形相似．在C项的条件下推不出两三角形相似．2．如图，在四边形ABCD中，＝，＝，EH，FG相交于点O.求证：△OEF∽△OHG.证明：如图，连接BD.∵＝，∴EF∥BD.又∵＝，∴GH∥BD.∴EF∥GH.∴∠EFO＝∠HGO，∠OHG＝∠OEF.∴△OEF∽△OHG.3.如图，正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC上，且CF∶BC＝1∶4，求证：＝.证明：设正方形ABCD的边长为4a，则AD＝BC＝4a，DE

6、＝EC＝2a.因为CF∶BC＝1∶4，所以CF＝a，所以＝＝2，＝＝2，所以＝.又因为∠D＝∠C＝90°，所以△ADE∽△ECF.所以＝.相似三角形的应用　如图，D为△ABC的边AB上一点，过D点作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，连接GH.求证：GH∥AB.　根据此图形的特点可先证比例式＝成立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝∠EBD即可．　∵DE∥BC，∴＝＝，即＝.又∵DF∥AC，∴＝.∴＝.∴＝.又∠GEH＝∠DEB，∴△EGH∽△EDB.∴∠EHG＝∠EBD.∴GH∥AB.不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成

7、立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系．4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.(1)求证：△CDE∽△FAE；(2)当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.又∵点F在BA的延长线上，∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE.∴△CDE∽△FAE.(2)∵E是AD的中点，∴AE＝DE.由△CDE∽△FAE，得＝.∴CD＝FA.∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD.又∵BC