选修4-1 第1讲 相似三角形的判定及有关性质

《选修4-1 第1讲 相似三角形的判定及有关性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、选修4-1几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝，则CD＝________，BC＝________.解析　在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝＝，得AC＝5，CD＝＝3，又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝＝.∴BD＝AB－AD＝－4＝，由射影定理BC2＝BD·AB＝×，∴BC＝.答案　3　2.(2013·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝

2、3，则EC＝________.解析　在Rt△ADB中，DB＝＝，依题意得，△ADB∽△ACE，∴＝，可得EC＝＝2.答案　23.(2013·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.解析　∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，∴＝，＝，∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，∴＝＝，∴EF＝3.答案　34.(2013·湛江模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则＝________.解析　如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在三角形BDG中，B

3、E＝DE，即EF为三角形BDG的中位线，故BF＝FG，因此＝.答案　5.如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．解析　∵E为AB中点，∴＝，即AE＝AB，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB，又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为＝.故△ADE与△ABC的相似比为1∶.答案　1∶6.如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，则BM＝________，CG＝________.解析　∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝C

4、D，AE＝12，DH＝16，∴＝，＝.∴＝，∴BM＝4.取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，如图，则PQ是梯形ADHE的中位线，∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.同理：CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.答案　4　157.在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S△FCD＝5，BC＝10，则DE＝________.解析　过点A作AM⊥BC于M，由于∠B＝∠ECD，且∠ADC＝∠ACD，得△ABC与△FCD相似，那么＝2＝4又S△FCD＝5，那么S△ABC＝2

5、0，由于S△ABC＝BC·AM，由BC＝10，得AM＝4，又因为DE∥AM，得＝，∵DM＝DC＝，因此＝，得DE＝.答案　8.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB＝9，则BM＝________.解析　∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE，∴∴△EDM∽△FBM.∴＝.∵F是BC的中点，∴DE＝2BF.∴DM＝2BM.∴BM＝DB＝3.答案　3二、解答题(共20分)9．(10分)如图，在等腰

6、梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明　(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB.∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC.∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶CD.∴DE·DC＝AE·BD

7、.10．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝AC，BD＝AB，点F在BC上，且CF＝BC.求证：(1)EF⊥BC；(2)∠ADE＝∠EBC.证明　设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝a.(1)＝＝，＝＝又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°.∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.(2)由(1)得EF＝a，故＝＝，＝＝，∴＝.∵∠DAE＝∠BFE＝90°，∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC.