高考数学复习专题练习选修4-1 第1讲 相似三角形的判定及有关性质.pdf

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1、选修4-1几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质一、填空题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点4D，AD＝4，sin∠ACD＝，则CD＝________，BC＝5________.AD4解析　在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝＝，得AC5AC＝5，CD＝AC2－AD2＝3，AC225又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝＝.AD4259∴BD＝AB－AD＝－4＝，4492515由射影定理BC2＝BD·AB＝×，∴BC＝.44415答案　342.如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC＝________.解析　在Rt△A

2、DB中，DB＝AB2－AD2＝7，依题意得，△ADB∽△ACE，DBADDB·AC∴＝，可得EC＝＝27.ECACAD答案　273.如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.解析　∵AB∥CD∥EF，ABBCBCCD∴＝，＝，EFCFBFEF4BCBC12∴＝，＝，EFBC－BFBFEF∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，BC112∴＝＝，∴EF＝3.BF4EF答案　34.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BDBF的中点，AE交于BC于F，则＝________.FC解析　如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在三角形

3、BDG中，BE＝DE，即EF为三角形BDG的中位线，故BF＝FG，因此BF1＝.FC21答案　25.如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．AE11解析　∵E为AB中点，∴＝，即AE＝AB，AB223在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB，2AE1又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为＝.AC3故△ADE与△ABC的相似比为1∶3.答案　1∶316.如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH2＝16，AH交BF于M，则BM＝________，CG＝________.1解析　∵AE∥BF∥

4、CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH2AB1BMABBM1＝16，∴＝，＝.∴＝，∴BM＝4.AD4DHAD164取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，如图，则PQ是梯形ADHE的中位线，11∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.2211同理：CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.22答案　4157.在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S△FCD＝5，BC＝10，则DE＝________.解析　过点A作AM⊥BC于M，由于∠B＝∠ECD，且∠ADC＝∠ACD，得△ABC与△S△ABCBCFCD相

5、似，那么＝2＝4又S△FCD(CD)1S△FCD＝5，那么S△ABC＝20，由于S△ABC＝2DEBD1BC·AM，由BC＝10，得AM＝4，又因为DE∥AM，得＝，∵DM＝DC＝AMBM25DE58，因此＝，得DE＝.24535＋28答案　38.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB＝9，则BM＝________.解析　∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE，∴Error!DMDE∴△EDM∽△FBM.∴＝.BMBF∵F是BC的中点，

6、∴DE＝2BF.1∴DM＝2BM.∴BM＝DB＝3.3答案　3二、解答题9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB.∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC.∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶

7、BD＝AE∶CD.∴DE·DC＝AE·BD.110．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝311AC，BD＝AB，点F在BC上，且CF＝BC.求33证：(1)EF⊥BC；(2)∠ADE＝∠EBC.证明　设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝2a.CE2a2CF2a2(1)＝＝，＝＝CB32a3CA3a3.又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°.∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.(2)由(1)得