2018-2019学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 三 相似三角形的判定及性质学案 新人教A版选修4-1

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1、三　相似三角形的判定及性质[学习目标]1.理解相似三角形的定义.2.理解预备定理的本质.3.会证明判定定理1，2，3，理解这些定理的内容，能应用这些定理证明相关的几何问题.4.掌握直角三角形相似的判定定理，会应用定理证明相关的几何问题.[知识链接]1.在初中我们学习过相似三角形，想一想，相似三角形及相似比是如何定义的？提示　对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).2.判断下列各命题的正确性，正确的打“√”，错误的打“×”(1)两个等边三角形相似(√)(2)两个直角三角形相似(×)(3)两

2、个等腰直角三角形相似(√)(4)有一个角为50°的两个等腰三角形相似(×)(5)有一个角为100°的两个等腰三角形相似(√)[预习导引]1.相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形，相似三角形对应边的比值叫作相似比(或相似系数).(2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.2.相似三角形的判定定理内容简述作用预平行于三角形一边的直备定理线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定两个三角形相似判定定理1对于任意两个三角形，如果

3、一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似两角对应相等，两个三角形相似判定两个三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判定两个三角形相似引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边判定两条直线平行判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似三边对应成比例，两个三角形相似判定两个三

4、角形相似3.直角三角形相似的判定定理(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.4.相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(2)相似三角形周长的比等于相似比.(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.5.两个相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比

5、等于相似比，外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方.6.相似三角形的性质和全等三角形的性质比较全等三角形相似三角形对应边相等对应边成比例对应角相等对应角相等对应中线相等对应中线的比等于相似比对应角平分线相等对应角平分线的比等于相似比对应高相等对应高的比等于相似比周长相等周长比等于相似比面积相等面积比等于相似比的平方外接(内切)圆的直径相等外接(内切)圆的直径比等于相似比外接(内切)圆的周长相等外接(内切)圆的周长比等于相似比外接(内切)圆的面积相等外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方要点一　相似三角形的判定例1　如图所示，∠ABC＝∠D＝90°

6、，AC＝a，BC＝b，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC与△CDB相似？解　(1)∵∠ABC＝∠CDB＝90°，∴当＝时，△ABC∽△CDB.即＝，∴BD＝时，△ABC∽△CDB.(2)∵∠ABC＝∠BDC＝90°，∴当＝时，△ABC∽△BDC，即＝，∴BD＝时，△ABC∽△BDC.综上，当BD＝或BD＝时，△ABC与△CDB相似.规律方法　解决此类问题，重点应放在“对应关系”上，根据“对应关系”进行合理的讨论是解题的关键.跟踪演练1　如图所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，满足AB2＝DB

7、·CE.(1)求证：△ADB∽△EAC；(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数.(1)证明　∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ECA.又∵AB2＝DB·CE，∴＝＝，∴＝，∴△ADB∽△EAC.(2)解　∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝70°.又∵△ADB∽△EAC，∴∠D＝∠EAC，∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝∠DAB＋∠BAC＋∠D＝∠ABC＋∠BAC＝70°＋40°＝110°.要点二　直角三角形的判定例2　如图所示，矩形ABCD中，AB∶BC＝5∶6，点E在BC上，点F在CD上，且EC＝BC，F

8、C＝CD.求证：△AFD∽△FEC.证明　设EC＝x，则BC＝AD＝6x，AB＝DC＝5x，∴FC＝3x，FD＝2x，∴＝＝2，＝＝2，