高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质3.2相似三角形的性质学案新人教a版选修4

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1、2．相似三角形的性质1．掌握相似三角形的性质．(重点)2．能利用相似三角形的性质解决有关问题．(难点)[基础·初探]教材整理　相似三角形的性质阅读教材P16～P19“习题”以上部分，完成下列问题．1．相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．2．相似三角形周长的比等于相似比．3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．4．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．　如图1326，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4cm，则DB等于(　　

2、)图1326A．2cm　　B．6cmC．4cmD．8cm【解析】　由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝＝，∴DB＝4×2＝8(cm)．【答案】　D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　[小组合作型]　利用相似三角形性质进行证明　(2016·南开中学模拟)如图1327所示，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC.求证：BC2＝2AC·CD.【导学号：07370015】图1327【精彩点拨】　要证BC2＝2AC·CD，可考虑用三角形相似证

3、明，但等式右边有常数2，故可考虑AC或CD的2倍，由图形知可考虑取BC的中点，也可考虑CD的2倍．【自主解答】　法一　取BC的中点E，连接AE.∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC.∴∠AEC＝∠BDC＝90°，∠C＝∠C.∴△BDC∽△AEC.∴＝，即BC·CE＝AC·CD.于是有BC2＝AC·CD.即BC2＝2AC·CD.法二　在DA上截取DF＝DC，连接BF.在△BFD和△BCD中，∵BD⊥CF，∴∠BDF＝∠BDC＝90°.又∵DF＝DC，BD＝BD，∴△BFD≌△BCD，∴∠BFC＝∠C.又∵AB

4、＝AC，∴∠ABC＝∠C.则∠BFC＝∠ABC.∴△ABC∽△BFC.∴＝.∴BC2＝AC·FC＝2AC·CD.要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论，有时需化归到相似三角形中加以证明，若不存在相似三角形，可添加辅助线，构造相似三角形，最终得到结论．[再练一题]1．如图1328，在矩形ABCD中，E是DC的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G.求证：AG2＝AF·FC.图1328【证明】　∵E为矩形ABCD的边DC的中点，∴AE＝BE.又∵GF∥AB，∴EG＝EF，∴AG＝BF.∵BE⊥A

5、C于F，∴Rt△ABF∽Rt△BCF，∴＝，∴BF2＝AF·FC，∴AG2＝AF·FC.[探究共研型]相似三角形的性质探究1　两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？【提示】　如图(1)(2)，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′外接圆的直径．连接BD，B′D′，则∠ABD＝∠A′B′D′＝90°.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C＝∠C′.而∠D＝∠C，∠D′＝∠C′，∴∠D＝∠D′.∴Rt△ABD∽Rt△A′B′D′.∴＝＝k.∵⊙O的周长＝2π

6、·＝π·AD，(2)⊙O′的周长＝2π·＝π·A′D′，∴⊙O的周长：⊙O′的周长＝＝k.又∵⊙O的面积＝π2，⊙O′的面积＝π2，∴⊙O的面积：⊙O′的面积＝＝k2.探究2　两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？如何证明？【提示】　　(1)　　　　　　　　(2)(1)如图(1)(2)，连接OB，OC，OD，O′B′，O′C′，O′D′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠ACD＝∠A′C′D′.∴∠OCD＝∠O′C′D′.又∵∠ODC＝∠O′D′C′＝90°，∴△OCD∽△O′C′D

7、′.∴＝.同理可证＝.∴＝，即＝.∴＝，即＝.∴＝＝＝k.∴＝k，即两个相似三角形内切圆的直径比等于相似比．(2)△ABC和△A′B′C′内切圆的周长分别为C＝2πr，C′＝2πr′.∴＝＝＝k.∴两个相似三角形内切圆的周长比等于相似比．(3)设△ABC和△A′B′C′内切圆的面积分别为S，S′，则S＝πr2，S′＝πr′2.∴＝＝2＝k2.∴两个相似三角形内切圆的面积比等于相似比的平方．　如图1329所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△

8、EFC＝4，则四边形BFED的面积等于多少？图1329【精彩点拨】　利用S四边形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC得到四边形BFED的面积．【自主解答】　∵AB∥EF，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC.又S△ADE∶S△EFC＝1∶4，∴AE∶EC＝1∶2.∴AE∶AC＝1∶3.∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9.∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9.