高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质章末分层突破学案新人教a版选修4

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1、第1讲相似三角形的判定及有关性质章末分层突破[自我校对]①平行线等分线段定理②平行线分线段成比例定理③判定定理④相似三角形的性质⑤直角三角形的射影定理　　证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式，是解决这类问题的基本方法．解决这类问题一般可分为三步：(1)把等积式化为比例式，从而确定相关的两个三角形相似．(2)确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或者竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形.(3)设法找到证明这两个三角形相似的条件．　如图11，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分

2、线EM和AB，CA的延长线分别交于D，E，连接AM.图11求证：AM2＝DM·EM.【规范解答】　∵∠BAC＝90°，M是BC的中点，∴AM＝CM，∠MAC＝∠C.∵EM⊥BC，∴∠E＋∠C＝90°.又∵∠BAM＋∠MAC＝90°，∴∠E＝∠BAM.∵∠EMA＝∠AMD，∴△AMD∽△EMA，∴＝，∴AM2＝DM·EM.[再练一题]1．如图12，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC.求证：EG∥BH.图12【证明】　∵DE∥BC，∴＝.∵DH∥GC，∴＝，∴AE·AB＝AC·AD＝AH·AG，∴＝.∴EG∥BH.利用相似三角形证明线段相等证明

3、两条线段相等，一般情况下，利用等角对等边或全等三角形的性质来解决．但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法得不出来，或过程比较繁琐，此时可以借助于相似三角形的有关比例线段来解决．　如图13，AD，CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.图13求证：PQ＝CF.【规范解答】　∵AD，CF是△ABC的两条高线，∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF，∴＝.又∵PQ∥BC，∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠ACB，∴△APQ∽△ABC.∴＝，即＝，∴＝.又∵AP＝AD，∴PQ

4、＝CF.[再练一题]2．如图14，已知▱ABCD的对角线相交于O，延长AB到F，连接OF交BC于E，若AB＝a，BC＝b，BF＝c，求BE的长．【导学号：07370023】图14【解】　过O作OG∥AB，交BC于G点．∵∠COG＝∠CAB，∠CGO＝∠CBA，∴△COG∽△CAB，∴＝＝.又∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴CO＝CA.∵OG＝AB＝a，CG＝BC＝b，∴BG＝B.又∵OG∥AF，∴∠OGB＝∠GBF，∠GOF＝∠F.∴△OGE∽△FBE，∴＝，∴＝，即＝，∴BE＝.射影定理射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜

5、边及两直角边之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．　如图15所示，AD，BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H.求证：DF2＝FG·FH.图15【规范解答】　∵BE⊥AC，∴∠ABE＋∠BAE＝90°，同理，∠H＋∠HAF＝90°，∴∠ABE＝∠H，又∠BFG＝∠HFA，∴△BFG∽△HFA，∴BF∶HF＝FG∶AF，∴BF·AF＝FG·FH，在Rt△ADB中，DF2＝BF·AF，∴DF2＝FG·FH

6、.[再练一题]3．如图16，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F.图16求证：CE2＝BD·DF.【证明】　∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴＝.同理CD∥EF，∴＝.∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，∴＝，∴＝，∴CE2＝BD·DF.转化思想在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式加以证明．当证明的比例式中的线段在同一条直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量．证明比例式成立也常利用中间比来转化证明．　如图17，在锐角△ABC中，AD，C

7、E分别是BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，且DE＝2，求点B到直线AC的距离．图17【规范解答】　∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB.∴＝，∴＝.又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA.∴＝＝.又∵DE＝2，∴AC＝6，∴点B到AC的距离＝＝3.[再练一题]4．如图18，四边形ABCD是正方形，E为AD上一点，且AE＝AD，N是AB的中点，FN⊥CE于F.求证：FN2＝EF·CF.图18【证明】　分别连接EN，CN.设正方形的边长为a，则AE＝a，DE＝a，A

8、N＝BN＝a.∴EN2＝AN2＋AE2＝a2，CN2＝BN2＋BC2＝a2，CE2＝DE2＋CD2＝a2，∴EN2＋CN2＝CE2，∴△CNE为直角三角形．∵NF⊥