高中数学第3讲圆锥曲线性质的探讨章末分层突破学案新人教a版选修4

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1、第3讲圆锥曲线性质的探讨章末分层突破[自我校对]①椭圆②椭圆③抛物线④双曲线　　平行射影与正射影正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．　已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在边BC上)．当∠BAC＝60°时，AB，AC与平面α所成的角分别是30°和45°，求cos∠BA′C.【精彩点拨】

2、　点在平面上的射影仍然是点，解决此题的关键是正确找出点A′，找出AB，AC与α所成的角，再结合余弦定理求解．【规范解答】　由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.设AA′＝1，则A′B＝，A′C＝1，AC＝，AB＝2，∴BC＝＝，cos∠BA′C＝＝.[再练一题]1．设四面体ABCD各棱长均相等，E，F分别为AC，AD的中点，如图31，则△BEF在该四面体的平面ABC上的射影是下列中的(　　)图31【解析】　由于BE＝BF，所以△BEF为等腰三角形，故F点在平面ABC上的正射影不在AC上而

3、在△ABC内部，又由于EF与CD平行，而CD与平面ABC不垂直，所以F点在平面ABC上的正射影不在直线BE上，从而只有B图形成立．【答案】　B　平面与圆柱面的截线　　平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．平面与圆柱面的截线其实质是切线长定理在空间中的推广(从球外一点引球的切线，切线长都相等)．　如图32，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F1，F2.图32求证：斜截

4、面与圆柱面的截线是以F1，F2为焦点的椭圆．【精彩点拨】　证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．【规范解答】　如图，设点P为曲线上任一点，连接PF1，PF2，则PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点为F1，F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1，K2，则PK1，PK2分别是两球面的切线，切点为K1，K2.根据切线长定理的空间推广，知PF1＝PK1，PF2＝PK2，所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2.由于K1K2为定值，故点P的轨迹

5、是以F1，F2为焦点的椭圆．[再练一题]2．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴、短轴和离心率．【解】　由题意可知椭圆的短轴为2b＝2×2，∴短轴长为4，设长轴长为2a，则有＝sin30°＝，∴2a＝4b＝8，e＝＝.∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为.　平面与圆锥面的截线由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dandelin双球法，这

6、时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决．　证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．【精彩点拨】　本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin双球法．【规范解答】　如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1，F2，与圆锥相切于圆S1，S2.在截面的曲线上任取一点P，连接

7、PF1，PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1，S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．[再练一题]3．如图33所示，已知圆锥母线与轴线的夹角为α，平面π与轴线夹角为β，Dandelin双球的半径分别为R，r，且α<β，R>r，求平面π与圆锥面交线的焦距

8、F1F2，轴长G1G2.图33【解】　连接O1F1，O2F2，O1O2交F1F2于O点，在Rt△O1F1O中，OF1＝＝.在Rt△O2F2O中，OF2＝＝.∴F1F2＝OF1＋OF2＝.同理，O1O2＝.连接O1A1，O2A2，过O1作O1H⊥O2A2，在Rt△O1O2H中，O1H＝O1O2·cosα＝·cosα.又O1H＝A1A2，由切线长定理，容易验证G1G2＝A1A2，∴G1G2＝·cosα.章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小