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《高中数学人教A版选修4-5学案：第3讲章末分层突破含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、章末分层突破型込反jw叽］观固层•知识整L二维形式的柯西不等式-柯西不等式的向量形式［自我校对］①一般形式的柯西不等式②柯西不等式的三角形式③反序和④顺序和⑤排序原理］提升层•能力强化利用柯西不等式证明简单不等式主题1>柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式.卜例EJ已知a,b,c是实数，且a+b+c=l,求证：寸13°+1+寸13b+1+寸13c+lW4羽.【规范解答】因为a,b,c是实数，且a+b+c=,令/w=C/13q+1,寸13b+l,寸13c+l),"=(1,
2、1,1),则
3、加5『=&13。+1+Q13b+1+寸13c+X
4、m
5、2-
6、n
7、2=3[(13a+l)+(136+l)+(13c+l)J=3[13(a+b+c)+3]=48.V
8、m-n
9、2^
10、m
11、2-
12、n
13、2,・•・(pl3°+l)+寸13b+l+Q13c+1FW4&13q+1+#13b+1+#13c+1[再练一题]1.设a,b,x,y都是正数,【证明】、：ci,b,x,尹都大于0,且x+y=a+b.由柯西不等式，知(壬+尙(+)+(W)]/12估皿+玮戶=(a+b)2.又a+x+b+y=2(a+b)>0,所以排序原理在不等式证明中的
14、应用主题2应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给岀适当的数组.2IT212I22I2已知a,b,c为止实数，求证：a+b+cW—+—云—+—.【规范解答】由于不等式关于a,b,c对称,可设a^b^OO.于是a2^b2^c丄丄COCI由排序不等式，得反序和W乱序和，即a丄+/¥+c(2015-陕西高考)已知关于兀的不等式x+a15、216、相加再除以2,即得原不等式.［再练一题］2.设a,b,cWR+,求证：a5+b5+c5^a3he+h3ac+c3ah.【证明】不妨设a2b2c>0,则a4^b4^c运用排序不等式有：a5+b5+c5=aXa4+hXh4+cXc4^ac4+ha4+ch4.又且abMcic2bc>0,所以a4b+b4c+c4a=a3ah+h3hc+c3ca2(ibc+b3ac+c3ah,即a5+65+c5er"be+b3ac+c3ab.利用柯西不等式、排序不等式求最值主题3»例有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为
17、我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足.设a,b,c为正实数，且a+2b+3c=13,求W嘉+寸亦+&的最大值.【规范解答】由于a,b,c为正实数，根据柯西不等式，知(n(a+2b+3c)(3+1+t
18、=［(込)?+(姮)2+（伍）2]（羽）2+12+=~-y[2b~~y[c）1(2)求&汁12+y[bt的最大值.【解】⑴由x+a=2,c=亍时,y[3a+y[2b+y[
19、c取得最大值为"于.[再练一题]2.已知实数q,b,c,d,e满足a2+/?2+c2+J2+e2=16.求a+b+c+〃+e的最大值.【导学号：32750060]【解】a+b+c+〃+e=〈（Q+/?+c+〃+w）2^（a2+b2+c2+d2+e2Xl2+12+12+12+I2）<^16X5=4^5,所以a+b+c+d+e的最大值是4^5.拥拓展层小链接高蚕、真题链接一探盟込_b_a=2,则丄=4,a=_3,解得L.（2h/-3r+12+p=VW?二+认Wp［（书尸+刊［（羽二护+（讹）2］=2yJ4—t+t=4f即t=1时等号成立,
20、故（寸一3/+12+"）咖x=4.2.（2015-福建高考）已知a>0,b>0,c>0,函数/（x）=
21、x+d
22、+*_b
23、+c的最小值为4.⑴求a+b+c的值；（2）^a2+^b2+c2的最小值.【解】（1）因为/（x）=
24、x+a
25、+
26、x—b
27、+cM
28、（x+G）—（x—b）
29、+c=
30、a+b
31、+c,当且仅当—aWxWb时，等号成立.又a>0,h>0,所以a+b=a+b9所以/（兀）的最小值为a+b+c.又已知/（兀）的最小值为4,所以a+b+c=4.⑵由⑴知d+b+c=4,由柯西不等式，得如?+加+c*4+9+1）M（jX2+
32、x3
33、+cXl）=（a+b+c）2=16,即訝+护+/諾.打-b当口仅当y=y=p即占X学，尸轴等号成立，故护+加+/的最小值是孕章末综合测评（三）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6
