高中数学人教A版选修4-5学案：第2讲章末分层突破含解析

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1、章末分层突破己巩固层•知识整台比较法①作商法｛由因导果L®I直接证明证明不等式的基本方法［自我校对］①作差法②综合法③执果索因④放缩法⑤间接证明施学思心得I提升层•能力强化、比较法证明不等主题1式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数人小与运算的关系.其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论.其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号.设a》b>0,求证:3a3+2b3^a2b+2ab2.【规范解答】3》+2沪一(3/b+2ab2)=3aa-h)+2bb

2、一a)=(a一h)(3a2一2b2)・•・・dMb>0,・・・d—bM0,3/—2/22/—2/20,从而(3/—2b2)(a—b)20,故3a3+2b3^3a2b+2ab2成立.[再练一题]1.若a=^L,6=^^,c=^^,贝!J()A-a&■・・”,b与c比较：：=晋=畔，c=^=^.V35>53,:.b>c,_lg25_lg32_10_]0，lg25_10•V32>25,a>c,:・b>a>

3、c,故选C.【答案】C综合法、分析法证明不等式主题2>分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一-般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手.因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用.已知实数x,〃z不全为零，求证:I3yj^+xy+y1~~ly2+yz+z2-~y]z2+zx+x2>2(x+y+z).【规范解答】因为心+卩+尹2=2寸卜+期=卜+界

4、卄士同理可证：yjy2+yz+z2yjx2+xz+z2^z+^.由于兀，yfz不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号,所以三式累加得：兀2+卩+F+寸y2+J；z+z?+寸，+zr+/>(£+(z+扌)=

5、(x+p+z),3所以有px'+Ay+b+y]y2+yz+z2+yjz2+zx+x2>^(x+y+z).［再练一题］1.设a,b,c均为大于1的正数，且ab=lO.求证：log“c+log&c241gc.【导学号：32750044］【证明】由于a>1,b>1,故要证明log（/c+log〃

6、c241gc,只要证明筈十lgb241gc.又c>l,故lgc>0,所以只要证在+击24,lgo+lgblg/lgb24.因ab=109故lga+lgb=1,只要证明誌由a>1,b>1,故lga>0flgb>0,所以0

7、,x,y,z均为实数，a=x2—2y+^,b=y2—2z+^,c=z?—Zx+务求证：ci,b,c中至少有一个大于0.【规范解答】设a,b,c都不大于0,则aWO,bWO,cWO,.•.a+b+cWO,由题设知，a+b+c=#—2y+期+y2~2z+j+$_2^+号—(x2—2x)+一2y)+(z2—2z)+7t=(x—l)2+(y—l)2+(z—1)2+7C—3,••・a+b+c>0,这与o+b+cWO矛盾，故a,b,c中至少有一个大于0.［再练一题］1.如图2・1,已知在中，ZG45>90°

8、,D是BC的中点，求证：AD【证明】假设AD^BC.(1)若AD=^BCf由平面几何定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”，知Z^=90°,与题设矛盾，所以AD^BC.(2)若4D>*BC,因为BD=DC=*BC,所以在中，AD>BD,从而ZB>ZBAD.同理ZOZCAD.所以Z54-ZC>ZBAD+ZCAD,即ZB+ZOZA.因为ZB+ZC=1SO°-ZA,所以SO°-ZA>ZAf即Z/V90。，与已知矛盾，故AD>^BC不成立.由(1)(2)知昇DV^BC成

9、立.用放缩法证明不等主题4式在证明不等式时，有时需要舍去或添加一些项，使不等式的一边放大或缩小,然后利用不等式的传递性，达到证明的冃的.运用放缩法证明的关键是放缩要适当，既不能太大，也不能太小.»例內已知Q,b,C为三角形的三条边，求证：哉，缶，氏也可以构成一个三角形.【规范解答】x设・/(x)-]+t，xW(0,+°°).设0cf._ca+bababcab••1+c<