高中数学人教A版选修4-5学案：第4讲章末分层突破含解析

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1、章末分层突破己巩固层•知识整台数学归纳法原理整除问题

2、¥¥iE

3、I纳法］—数学归纳法应用举例几何问题其他不等式［自我校对］①等式问题②证明不等式③贝努利不等式

4、提升层•能力强化归纳递推要用好归纳假主题1设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用・在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设（n=k时命题成立）,推出n=k+时，命题成立.用数学归纳法证明：对于〃丘N+,【规范解答】(1)当n=时,左边=古■=*,右边=*,所以等式成立.⑵假设n=k时等式成立，即_L._L._L._■1_k1-2^23

5、^34^^^k(k+］)~k+f当n=k+时，丄+丄+丄+…+——1—12十23十34十十力伙+1)十伙+1)伙+2)=丄+—1—£+1伙+1)伙+2)后+2£+1A+1=伙+1)伙+2)=订？所以当n=k+时，等式也成立.由⑴⑵可知对于任意的自然数弘等式都成立.［再练一题］1・数列爲；1)的前刃项的和记为S”.(1)求出Si，S2,S3的值；⑵猜想出S”的表达式；(3)用数学归纳法证明你的猜想.123【解】(1)51=2>$2=亍,$3=才・77(2)猜想：5=币.(3)证明：①当乃=1时S=(?i=2，右边=空.等式成立.②假设当

6、n=k时，Sk=i_

7、则当n=k+时，Sr+i=Sr+%卜i=k1伙+1)，_k+1再T十伙+1)伙+2)=伙+1)伙+2)=ITik+伙+1)+1'即当n=k+1时，等式成立,不等式证明中的强化命题主题2如果c为常数，用数学归纳法证明An)8把C换成g(〃)・由于归纳假设也随之加强，这样强化了命题更易于用数学归纳法证明.证明不等式£+*+<1(^22,〃WN+)・【规范解答】可先证明*+£存—*心可，(*)对(*)

8、运用数学归纳法证明：(1)当n=2时，(*)显然成立.(2)设n=k时，不等式(*)成立，即*+£p,tzi=l+^

9、公式，知以+1=丄+q＞(1—q)+q=1.a*2同理，如匕+。＜+=匕＜在.故当n=k+时，命题也成立，即1＜以+]＜己了综合(1)(2)可知，对一切正整数弘有1从特殊到一般的数学思想方法主题3>探索性命题是近几年高考试题中经常岀现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想、探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法.已知数列｛%｝是等差数列,且如=1,切+伤+…+bio=145.(1)求数列｛%｝的通项公式％;⑵设数列｛如的通项a〃=log(l+£(其屮Q0,且aHl),S〃是数列仙｝的前川项和•试比较S”与*lo

10、g“b“+1的大小，并证明你的结论・【规范解答】(1)设数列｛bn｝的公差为d.由题意得10价+价=1,d=145,故九=1+3(比一1)=3〃一2・(2)由g=3n_2知，S“=log/1+1)+log]1+£Flog]1+3丄2=1。』(1+1)(1+{

11、・・・(1+七[.又*log“b卄i=log力3旳+1因此要比较S„与

12、10gA+i的大小，可先比较(1+1)(1+》…J+3丄2)与%/?+1的大小.取〃=1,有(1+1)>引3・1+1;取n=2,有(1+1屮+护勺3・2+1・由此推测(1+1)(1+茁…1+3〃_2)>寺3〃+1•①

13、若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a>时，5w>

14、logA+i；当0<«<1时，5w<

15、logA+b下面用数学归纳法证明①式成立：a.当n=时，已验证①式成立.b・假设当n=k(k±,%WN+)时①式成立，即(1+1)「+补・・(1+吕(\1(1、那么，当心£+1时，(1+1)(1+才…1+乔頁I+3伙+1)_2丿>如+1(1+3”J（3丘+2）3—（3£+4）（3丘+1）2=（3卄1）2%+4=（31+1?>0^誓¥(3k+2)>%T门3t=寸3伙+1)+1.(I、(1V133因而(1+1)(1+力・・・(1+E(1+E>〈3

16、伙+1)+1.・••当n=k+1时①式成立.由a,b知①式对任意正整数n都成立.由此证得：当a>1时，S〃>glog“b卄1;当OVdVl时，S?V*log“b”+