量纲分析法建模.ppt

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1、数学建模量纲分析法量纲分析法量纲分析（DimensionalAnalysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。一、量纲齐次原则长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]速度v的量纲[v]=LT-1加速度a的量纲[a]=LT-2力f的量纲[f]=LMT-2引力常数k的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物

2、理量之间的关系例：单摆运动lmgm求摆动周期t的表达式设物理量t,m,l,g之间有关系式1,2,3为待定系数，为无量纲量(1)的量纲表达式对比对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为单摆运动中t,m,l,g的一般表达式y1~y4为待定常数,为无量纲量设f(q1,q2,,qm)=0ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(1,2

3、,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,,Xn(nm)是基本量纲,q1,q2,,qm的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r个基本解，记作为m-r个相互独立的无量纲量,且则[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力f航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g。m=6,n=3Ay=0有6-3=3个基本解rankA=3rankA=

4、rAy=0有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-rm-r个无量纲量F(1,2,3)=0与(g,l,,v,s,f)=0等价为得到阻力f的显式表达式F=0未定F(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价量纲分析法的评注物理量的选取基本量纲的选取基本解的构造结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0的基本解方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识二、案例－原子弹爆炸的能量估计1、问题的提出1945年7月16

5、日，美国科学家试爆了全球第一颗原子弹。人们想了解这次爆炸的威力究竟有多大。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为19.2千吨。这次爆炸所释放的实际能量为21千吨。那么，Taylor是如何对原子弹爆炸的能量进行估计的呢？Taylor认为，爆炸的能量与爆炸形成的“蘑菇云”半径大小有关，他根据录影带，测出不同时刻爆炸所产生的“蘑菇云”半径见下表。表1时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)2、建立数学模型Taylor建立计算爆炸能量的数学模型所采用的是量纲分

6、析法。记爆炸能量为E，将“蘑菇云”半径近似看成一个球形。除时刻t和能量E外，与“蘑菇云”半径r有关的物理量还可能有“蘑菇云”周围的空气密度（记为）和大气压强P，将要寻求的关系为：记作更一般的形式取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，（2）中各个物理量的量纲分别是由此得到量纲矩阵为齐次方程Ay=0的基本解为根据量纲分析的Bucking-hamPi定理，由这2个基本解可以得到2个无量纲量（3）（4）（5）3、数值计算为了利用表1中t和r的数据由（6）确定原子弹爆炸的能量E，必先估计的大小。（7）（8）其中是待定系数，对（8）取对数后用线性最小二乘

7、拟合，根据表1中t和r的数据得到原子弹爆炸的能量是19.1863千吨原子弹爆炸能量的实际值21千吨基本一致