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1、量纲分析法一、基本概念量纲分析（DimensionalAnalysis）是20世纪初提出的在物理领域建立数学模型的一种方法，它主要址利用物理最的最纲所提供的信息，根据最纲齐次法则來确定物理杲之间的关系。所谓最纲齐次法则是指作为一个数学模型或物理规律，其数学表达式的毎一个加项的杲纲必须是一致的或毎一项都是无最纲。也就是说，当描述实际现象时，只有最纲相同的项才能相比较或相加减，这个法则应该是自明的。许多物理最是有最纲的，有些物理最的最纲是基本的，另一些物理杲的量纲则可以山基木杲纲根据其定义或某些物理定律推导出来。如力学中,常把质量加、长度
2、/、时间t的量纲作为基本量纲,分别计为[m]=M.[l]=L和[”=7于是速度的量纲是v]=LT",加速度的量纲是[a]=LT'2,力的量纲是[f]=MLT'2.二、实例——单摆周期运动育先，我们研究一个简单的例子——单摆周期运动，山此例子看看如何用最纲分析法建立数学模盘，然后再给出最纲分析法的主要内容，即著名的BuckinghamPi定理。单摆运动是一个熟知的物理现象,即用细线悬挂的小球离开其平衡位置后在重力的作用下所做的平面往复运动。为了简化问题，我们做如下假设：模型假设：1.小球运动过程中不考虑空气的阻力。2.忽略地球自转对
3、单摆运动的爆响。3.摆线是刚体，在单摆运动过程屮不发生变形。4.摆轴部分没令摩擦。模型分析与建立：在上述假设下可知，与单摆运动有关的物理量有：运动的周期人摆线长I、球的质量/“和重力加速度g，其量纲分别为：T、L、M和LT$。设人/、加和g之间的关系式为:U加产宀g如（1）其屮是待定常数，久是无最纲的比例系数。取（I）式的最纲表达式，即将[打=7[加]=M,“]=厶,[g]=LT'2代入得T=1^5厂2色（2）按照帚:纲齐次原则应有a}=0G+$=0（3）式的解为a】=0,a2I1严p代入（1）式得（4）式与用力学规律得到的结果是一
4、致的。如果考虑得更楙细些，周期i应与小球偏离平衡位置的初始角度e有关。但因e是无最纲最(弧度),所以它的影响反映在系数入内,即为2(0)。事实上,2(0)是以e参量的第一类椭圆积分,当e很小时,它的值近似于2JIO三、一般方法：为了导出最纲分析法建模的一般方法，将这个例子中的各变量之间的关系写作/(M2」,g)=0(5)进一步假设(5)式的形式为tv,myiIv?gV4=7i(6)其中y&=l,2,3,4)是待定常数，ji是无最纲常数。将『、加、/和&的最纲用基本最纲T、L、M表示为(7)M=L0M,r0[l]=l}M()T(}[gj
5、=L,M°T-2则(6)式的最纲表达式可写作(注意k]=Z?M°T°)(£°M°r,)y,(L°M,T0)j2(L,M°r0)y3(£lM0T-2)y4=L°Af°r°即厶力+儿My27.V1-2.V4=芒m0T°宙最纲齐次原则，有儿+儿=0y2=°X_2儿=0此方程组的一个基木解『=(儿儿』3丿4)"=(2,0-U)7代入(6)式得(10)t2l~lg=兀而(5)式等价于(H)(10)、(11)式就是用最纲齐次原则从(5)式得到的结果，前面给出的(4)式只是它的特姝表达形式。把从(5)式到(II)式的推导过程一般化，就是著名的Buc
6、kinghamPi定理。定理设有加个物理量4，的，…，弘，/(G，)=0(12)是与量纲单位的选择无关的物理定律，X],X2,…，x”是基木量纲，n
