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1、第四章量纲分析建模法在数学的应用中，需处理的往往不是“纯粹的”数，而是反映事物某一特性的度量。用数加单位来表示具体度量；用量纲的概念来表示被度量的特性。量纲分析法是一种初等有效的物理建模方法一.单位SI国际单位制（米—千克—秒）；fps英制单位制（英尺—磅—秒）8/10/20211一个模型中单位必须统一二.量纲时间（T）基本物理量质量（M）长度（L）力学中，任何物理量都可以表示为其组合形式，称这种组合形式为物理量的量纲。称为基本量纲其中[质量]=[m]=M,[长度]=[l]=L,[时间]=[t]=T,8/10/20212例：[加速
2、度]=[a]=LT－2;因为力F=ma,故[F]=[m][a]=MLT－2;部分物理常数也有量纲，如万有引力定律中的引力常数K的量纲为[速度]=[v]=[]==LT－1;8/10/20213部分物理量是无量纲的，称之为纯数字，如［角度］=LL—1=L0尽管角度是无量纲量，但它有单位（弧度）。量纲独立于单位量纲表达式总保持成立，与度量单位制的特殊选择无关。例如速度量纲为LT-1，可以表示为米每秒、英尺每秒、里每秒；面积量纲为L2，可以用平方米、平方公里等表示。8/10/20214三.量纲齐次性（DimensionalHomogene
3、ity）指一个方程在任何度量单位制下都成立量纲齐次原则:任一有意义的物理方程必定是量纲一致的，即有[左边]=[右边]1.对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验2.无量纲化方法减少参数个数注意：量纲尺度必须是线性的，否则量纲分析会失效！8/10/20215例4.1非线性震荡运动方程或模型中有参数：m、K、C令x0=x(0),w0=,v0=x0w0,8/10/20216根据量纲齐次性，有[F]=MLT－2,[K]=MT－2,[C]=MT－1,[w0]=T－1引进无量纲量：T=w0t,X=x/x0,V=v/v0得特点？8/10/2021
4、7将代入原方程，有=－X－AV+F0其中，因v0=x0w0,w0=8/10/20218原方程变形为优点：1.减少了参数的个数；2.方程中的变量X、V、T都是无量纲量。四.量纲分析建模量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法,是对所设问题有一定了解，在实验和经验的基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之间的关系。8/10/20219例4.2单摆运动单摆运动的抽象BuckinghamPi定理：设有m个物理量q1，q2，…qm,而f(q1，q2，…qm)=0（1）是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1,X2,…,Xn是
5、基本量纲，其中n≤m，q1，q2，…qm的量纲可表为[qj]=j=1,2,…,m矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵。若A的秩Rank(A)=r8/10/202110若齐次线性方程组AY=0（y是m维向量）的m－r个基本解为：ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m－r则为m－r个相互独立的无量纲量,且F(π1,π2,…，πm－r)=0（2）与（1）式等价，其中F的形式未知。例4.2航船阻力例4.3物理模拟中的比例模型8/10/202111应用量纲分析法建立数学模型应注意：1.正确确定模型中所含物理量（主要靠经
6、验和知识，没有一般的方法可以保证得到的结果是正确或有效）。2.合理选择基本量纲（一般，在力学中选取L、M、T即可，热学问题加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q）。3.应根据特定的建模目的恰当地构造基本解。量纲分析建模方法有如下优缺点:1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法，可以得到用其他复杂方法难以得到的结果。8/10/2021122.可将无关的物理量去掉。3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量。4.方法有局限性，PI定理中的等价方程F（·）=0，仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量。5.物理定律中常见的函数，如三角函数
7、sin（·），指数函数exp（·）等是无量纲的，不可能用量纲分析法得到。任何建模方法都有局限性8/10/202113力学，电学，热学问题是最常见的物理问题，时间，质量，长度是这类问题最常用的基本物理量，以这几个物理量作为基本物理量的量纲系统通常称为系统，下表给出若干常用物理量的量纲：物理量量纲物理量量纲质量力长度熵时间频率速度角速度加速度角加速度物理量量纲物理量量纲质量力长度熵时间频率速度角速度加速度角加速度物理量量纲物理量量纲质量力长度熵时间频率速度角速度加速度角加速度物理量量纲物理量量纲质量力长度熵时间频率速度角速度加速度角加
8、速度8/10/202114物理量量纲角动量能量功动量热量密度黏性系数压强表面张力功率转动惯量转矩8/10/202115
