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《数学模型与数学建模-第4章-量纲分析法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4 量纲分析建模法在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的”数,而是反映事物某一特性的度量.用数加单位来表示具体度量；用量纲的概念来表示被度量的特性.量纲分析法是一种有效的物理建模方法一.单位SI国际单位制（米—千克—秒）；fps英制单位制（英尺—磅—秒）一个模型中单位必须统一二.量纲时间（T）基本物理量质量（M）长度（L）力学中，任何物理量都可以表示为其组合形式，称这种组合形式为物理量的量纲.称为基本量纲其中[质量]=[m]=M,[长度]=[l]=L,[时间]=[t]=T,例4.1.1[加速度]=
2、[a]=LT－2;因为力F=ma,故[F]=[m][a]=MLT－2;部分物理常数也有量纲，如万有引力定律中的引力常数K的量纲为[速度]=[v]=[]==LT－1;部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如［角度］=LL—1=L0尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).量纲独立于单位三.量纲齐次性（DimensionalHomogeneity）量纲齐次原则:任一有意义的物理方程必定是量纲一致的,即有[左边]=[右边]1.对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.2.无量纲化方法减少参数个数.例4.1.2非线
3、性震荡运动方程模型中有参数：m、K、C令x0=x(0),w0=,v0=x0w0,根据量纲齐次性,有[w0]=T－1,[F]=MLT－2,[K]=MT－2,[C]=MT－1.引进无量纲量：T=w0t,X=x/x0,V=v/v0特点？代入原方程，有=－X－AV+F0其中，因v0=x0w0,w0=原方程变形为优点：1.减少了参数的个数；2.方程中的变量X、V、T都是无量纲量.量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法.对所设问题有一定了解，在实验和经验的基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量
4、之间的关系.例4.2.1单摆运动将质量为m的一个小球系在长度为l的线的一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用下(g为重力加速度),做往复摆动.忽略阻力,求摆动周期t的表达式.求解考虑问题中出现的物理量t、m、l、g，假设它们之间有关式其中α1,α2,α3是待定常数,λ是无量纲的比例常数.上式的量纲表达式为(1)将[t]=T,[m]=M,[l]=L,[g]=LT－2代入得(2)按照量纲齐次性,有求解为代入式(1)得续例4.2.1单摆运动的抽象设变量关系为f(t，m，l，g)=0，(3)假设各变量间的
5、关系如下：(4)其中y1～y4是待定常数,π是无量纲量.各变量的量纲用基本量纲表示如下：[t]=L0M0T1,[m]=L0M1T0,[l]=L1M0T0,[g]=L1M0T－2,(4)式的量纲表达式为根据量纲齐次性，有线性方程组成立解得方程组的一个解为代入(4)式有或者(5)将此例一般化有以下定理BuckinghamPi定理：设有m个物理量q1，q2，…qm,而f(q1，q2，…qm)=0(6)是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1,X2,…,Xn是基本量纲,其中n≤m，q1，q2，…qm的量纲可表为
6、矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵.若A的秩Rank(A)=r若齐次线性方程组AY=0(y是m维向量)的m－r个基本解为：ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m－r为m－r个相互独立的无量纲量,且F(π1,π2,…，πm－r)=0(7)与(6)式等价,其中F的形式未知.例4.2.2航船阻力长度为l、吃水深度h的船以速度v航行,若不考虑风的影响,那么航船受到的阻力f除依赖船的诸变量l,h,v以外,还与水的参数—密度ρ,粘性系数μ,以及重力加速度g有关.下面用量纲分析法确定阻力与这
7、些物理量之间的关系.1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为Ф(f,l,h,v,ρ,μ,g)=0(8)2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T,各物理量的量纲表示为3.写出量纲矩阵(f)(l)(h)(v)(ρ)(μ)(g)方程有m－r=7－3=4个基本解,可取为4.求解齐次线性方程组AY=0,因Rank(A)=r=35.给出4个相互独立的无量纲量(9)式(9)与φ(π1,π2,π3,π4)=0等价,φ是未定的函数.两式表达了航船问题中各物理量之间的全部关系.为得到阻力f的表达式，由式(1)及式(9)
8、中π4的式子可写出f=l2v2ρψ(π1,π2,π3)其中ψ表示一个未定函数用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析法难以得到虽然函数ψ的形式无从知道,但这个表达式在物理模拟问题中仍有用途.例4.2.3物理模拟中的比例模型利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变模型中的各物理量：原型中的各物理量：有当无量纲量成立时,可得原型航船的阻力可由模型船的
