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1、第一讲数学模型与数学建模现代数学：在理论上更抽象；在方法上更加综合；在应用上更为广泛。一、现代科技人员应具有的数学能力*数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用.*更重要的方面是数学的思维方式的确立.21世纪科技人才应具备的数学素质与能力数学运算能力逻辑推理能力数学建模能力数据处理能力空间想象能力抽象思维能力更新数学知识能力使用数学软件能力二、数学模型与数学建模数学模型(MathematicalModel):重结果；模型:所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质。*对实体本身的模
2、拟如:飞机形状进行模拟的模型飞机；数学建模(MathematicalModeling):重过程.*对实体某些属性的模拟如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机；*对实体某些属性的抽象如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象任何一个模型仅为一个真实系统某一方面的理想化，决不是真实系统的重现.数学模型(E.A.Bendar定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。数学模型是现实世界的简化而本质的描述。是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述.治愈瘫痪死亡
3、状态（可能）行动（人能控制）等待治疗例1大夫的决策问题此模型(数学结构)表达了大夫能做什么,可能出现的结果.可帮助我们明确大夫的决策取决于目标的设定及治疗原则等.数学模型是思考的工具构造一个数学模型可帮助我们进行交流、获得理解、加强对所采取的行动及结果的预测能力，它应有助于思考过程.例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益.例3.生物医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药物的疗效，从而有效地指导临床用药.诺贝尔经济学奖获得者建
4、立了大量的数学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：人类时间价格模型；教师与毕业生的增长模型；房屋出售问题模型；最优消费和组合投资问题；Selton连锁店博弈模型；平稳人口模型；固定汇率和浮动汇率的货币动力学人类时间价格的度量；考虑技术进步的生产函数…….数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁。现实世界数学世界建立数学模型推理演绎求解翻译为实际解答实际解答：如对现实对象的分析、预报、决策、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以
5、后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差。作案时间的确定三、建模范例分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”翻译为建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为ln(T
6、－m)=－kt+c,代入条件，求得c=42，k=－,最后得结果：T(10)=18+42=25.870，该物体温度降至300c需要8.17分钟.T(t)=18+42,t≥0.将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地面上,问是否总能设法使它的四条腿同时着地？假设*1地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地面可用一个连续二元函数z=z(x,y)表示）*2相对于地面的弯曲程度,方桌的腿足够长.*3将与地面的接触看成几何上的点接触.稳定的椅子建模绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点旋转，转动角度记为θ.OABCDA′
7、C′θ引进函数变量：f(θ)—A、C两腿到地面的距离之和；g(θ)—B、D两腿到地面的距离之和；由假设*1，f(θ)、g(θ)都是连续函数。由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能同时着地，故有f(θ)g(θ)=0，θ∈[0，2π]不妨设f(0)=0、g(0)＞0.方桌问题归结为数学问题：已知f(θ)和g(θ)都是连续函数,f(0)=0、g(0)＞0,且对任意θ∈[0,2π],都有f(θ)g(θ)=0，分析：当θ=π/2时，即AC和BD互换位置,故有f(π/2)＞0，g(π/2)=0令h(θ)=f(θ)－
8、g(θ)，则有求证：存在θ0，使得f(θ0)=g(θ0).因h(θ)在[0,π/2]上连续，根据闭区间上连续函数的介值定理，存在θ0∈[0,π/2]，使h(θ0)=f(θ0)－g(θ0)=0h(0)＜0，h(π/2)＞0，f(θ0)=g(θ0)因对任意θ有,f(θ)g(θ)=0f(θ0)g(θ0)=0f(θ0)=g(θ0)=0结论对于四条腿等长，四脚呈正方形的桌子，在光滑地面上做原地旋转，在不大于π/2的角度内，必能放平.思考题：任意矩形的
