2017-2018版高中数学 第一章 数列 3.1 等比数列(一)学案 北师大版必修5.doc

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1、3．1　等比数列(一)学习目标　1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一　等比数列的概念思考　观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．①1,2,4,8,16，…；②1，，，，，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….　梳理　等比数列的概念和特点．(1)如果一个数列从第____项起，每一项与它的____一项的____都等于________常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的________，通常用字母q表示(q≠0)．(2)递推公式形式的定义＝q(

2、n>1)(或＝q，n∈N＋)．(3)等比数列各项均________为0.知识点二　等比中项的概念思考　在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？　梳理　等差中项与等比中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项若a，G，b成________数列，则G叫作a与b的等比中项定义式A－a＝b－A＝公式A＝G＝±个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有________个，且互为________备注任意两个数a与b都有等差中项只有当________时，a与b才有等比中项知识点三　等比数列的通项公式思考　

3、等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？　梳理　等差数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.类型一　证明等比数列例1　根据下面的框图，写出数列的前5项，并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？　反思与感悟　判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与n无关的常数)．跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N＋)．(1)求a1，a2；(2)证明：数列{an}是等比数列．　类型二　等比数列通项公式的应用命题角度1　方程思想例2　一个等比数列的第3项与第4项分别是

4、12与18，求它的第1项与第2项．反思与感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．跟踪训练2　在等比数列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.　命题角度2　等比数列的实际应用例3　某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)　反思与感悟　等比数列应用问题，在实际应用问题

5、中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．跟踪训练3　某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg6≈0.778，lg1.2≈0.079)类型三　等比中项例4　若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为(　　)A．±B.C．1D．±1反思与感悟　(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．跟踪训练4　＋1与－1的等比中项是(　　)A．1B．－1C．±1D.1

6、．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　)A．16B．16或－16C．32D．32或－322．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)A．4B．8C．6D．323．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)A．64B．81C．128D．2434．45和80的等比中项为________．1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N＋)．2．两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()

7、，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．答案精析问题导学知识点一思考　从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．梳理　(1)2　前　比　同一　公比(3)不能知识点二思考　设这个数为G.则＝，G2＝16，G＝±4.所以这样的数有2个．梳理　等比　两　相反数　ab＞0知识点三思考　等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)．将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，

8、即an＝a