2018版高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(一)学案 新人教A版必修5.doc

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1、2.4等比数列(一)[学习目标] 1.通过实例,理解等比数列的概念并会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式,了解其推导过程.知识点一 等比数列的概念1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).2.递推关系在数列{an}中,若=q(n∈N*),q为非零常数,则数列{an}是等比数列.思考1 下列数列一定是等比数列的是________.(1)1,3,32,33,…,3n-1,…;(2)-1,1,2,4,8,…;(3)a1,a2,a3

2、,…,an,….答案 (1)解析 (1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….因为==3(n≥1,n∈N*),所以此数列为等比数列,且公比为3.(2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,….因为=-1≠=2,所以此数列不是等比数列.(3)当a=0时,数列为0,0,0,…,是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a.∴只有(1)一定是等比数列.思考2 若数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),那么{an}是等比数列吗?答案 不一定.当a1=0时,按上述

3、递推关系,该数列为常数列,且常数为0,故{an}不一定为等比数列.知识点二 等比中项的概念如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G=±.知识点三 等比数列的通项公式已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),该等比数列的通项公式为an=a1qn-1.思考1 已知等比数列{an}中,a1=1,a3=9,则a2=______.答案 ±3解析 ∵a3=a1·q2,∴9=q2,∴q=±3,∴a2=a1q=±3.思考2 除了课本上采用的不完全归纳法,还能用什么方法求数列的通项公式.答案 还可以用累乘法.当n>2时,=q,=q,…,=q,上述各式相乘得·

4、…=qn-1,∴=qn-1,∴an=a1qn-1(n>2),当n=1时,a1=a1q1-1,符合上式,当n=2时,a2=a1·q2-1,符合上式,∴an=a1qn-1(n∈N*).题型一 等比数列的通项公式及应用例1 在等比数列{an}中,(1)已知an=128,a1=4,q=2,求n;(2)已知an=625,n=4,q=5,求a1;(3)已知a1=2,a3=8,求公比q和通项公式.解 (1)∵an=a1·qn-1,∴4·2n-1=128,∴2n-1=32,∴n-1=5,n=6.(2)a1===5,故a1=5.(3)a3=a1·q2,即8=2q2,∴q2=4,∴q=±2

5、.当q=2时,an=a1qn-1=2·2n-1=2n,当q=-2时,an=a1qn-1=2(-2)n-1=(-1)n-12n,∴数列{an}的公比为2或-2,对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n.反思与感悟 a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件,建立关于a1和q的方程组,求出a1和q.跟踪训练1 在等比数列{an}中,(1)已知a3=2,a5=8,求a7;(2)已知a3+a1=5,a5-a1=15,求通项公式an.解 (1)a3=a1q2=2,a5=a1q4=8,∴q2=4,∴a1=,∴a

6、7=a1q6=(q2)3=·43=32.(2)a3+a1=a1(q2+1)=5,a5-a1=a1(q4-1)=15,∴q2-1=3,∴q2=4,∴a1=1,∴a1=1,q=±2,∴an=a1qn-1=(±2)n-1.题型二 等比数列的判定与证明例2 已知f(x)=logmx(m>0且m≠1),设f(a1),f(a2),…,f(an),…是首项为4,公差为2的等差数列,求证:数列{an}是等比数列.证明 由题意知f(an)=4+2(n-1)=2n+2=logman,∴an=m2n+2,∴==m2,∵m>0且m≠1,∴m2为非零常数,∴数列{an}是等比数列.反思与感悟 判

7、断一个数列是不是等比数列的常用方法(1)定义法:=q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列.(2)等比中项法:a=anan+2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列.(3)通项公式法:an=a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列.跟踪训练2 已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.解 (1)由题意得a2=,a3=.(2)由a-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项

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