独立随机变量期望和方差的性质.pdf

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1、7.4独立随机变量期望和方差的性质独立随机变量乘积的期望的性质：X,Y独立，则EXYEXEY以离散型随机变量为例，设二元随机变量XY,的联合分布列PXxY,y已知，ij则PXxY,yPXxPYy，imj1,2,n,;1,2,,ijijmnmnEXYxyPXxYijijy,xyPXijijxPYyij11ij11mnxPXiijjxyPYyEXEYij11***************

2、********************************************************独立随机变量和的方差的性质：X,Y独立，则VarXYVarXVarY22VarXYEXYEXY2222EXXYY2EXEXEY2EY2222EXEXEYEY22EXYEXEY2222EXEXEYEYVarXVarYn若XX12,,,Xn相互独立

3、，且都存在方差，则VarXX12XVarXmkk1***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量Xbnp~,期望和方差我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差求和的性质。这里我们再回顾一下。1设XX,,,X相互独立，且均服从0-1分布Bp1,，则XXXX12n12n2对所有k1,,n，EX1p

4、01pp，EXppp101kk222VarXkEXkEXkppp1p，EXEX12XXnEX12EXEXnnpVarXVarX12XXnVarX12VarXVarXnnp1p***********************************************************************负二项分布随机变量YNBrp~(,)：连续不断且独立地重复进行一个

5、参数为p的伯努利试验，第r次“成功”出现时所进行的试验次数。更细致地考虑由伯努利试验构造参数为r，p的负二项分布随机变量的过程。从伯努利试验开始到第一次成功，所进行试验的次数是随机的，记为随机变量X,则X服从参数为p的几何分布；然后继续独立地进行伯努利试验，到11第二次试验成功，我们记从第一次试验成功后开始计算的试验次数为X，则X仍然服22从参数为p的几何分布；如此进行下去，到第r次“成功”出现时所进行的总的伯努利试验次数Y就等于X1加X2一直加到Xr。设XX,,,X相互独立，且均服从几何分布Gep，12r11

6、p则YXXX；EX，VarX，kr1,2,,12rkk2pprEYEX1X2XrrEX1EXprp1VarYVarX1XX21VarXrrVarX2p***********************************************************************例7.4.1设随机变量XY,相互独立，已知它们的期望分别为EX和EY。令2UXYmax,，VXYmax,，求EUV

7、。解：分别考虑XY和XY两种情况，当XY时，UX，VY；当XY时，UY，VX；所以UVXY，EUVEXYEXEY。3