随机变量的数学期望与方差.pdf

《随机变量的数学期望与方差.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第9讲随机变量的数学期望与方差教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。教学重点：1．随机变量的数学期望2．随机变量函数的数学期望3．数学期望的性质4．方差的定义5．方差的性质教学难点：数学期望与方差的统计意义。教学学时：2学时。教学过程：第三章随机变量的数字特征§3.1数学期望在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的

2、某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。1．离散随机变量的数学期望我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量，如何定义X取值的平均值呢？若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为3230172101231.27100100100100这个数能作为X取值的平均值吗？1可以想象，若另外统计100天，车

3、工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。对于一个随机变量X，若它全部可能取的值是x,x,，相应的概率为P,P,，1212则对X作一系列观察(试验)所得X的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现x的频率会接近于P，于是试验值的平均值应接近kKxkpkk1由此引入离散随机变量数学期望的定义。定义1设X是离散随机变量，它的概率函数是p(x)P(Xx)P,k1,2,kKK如果

4、xk

5、pk收敛，定义X的数学期望为k1E(X)x

6、kpkk1也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。例1某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望。解设试开次数为X，则p(Xk)1n，k1,2,,n于是n11(1n)nn1E(X)kk1nn222.连续随机变量的数学期望为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X是连续随机变量，其密度函数为f(x)，把区间(,)分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X落在任意小区间(x,xdx]内的

7、概率，则有2xdxp(xXxdx)=f(t)dxf(x)dxx由于区间(x,xdx]的长度非常小，随机变量X在(x,xdx]内的全部取值都可近似为x，而取值的概率可近似为f(x)dx。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义。定义2设X是连续随机变量，其密度函数为f(x)。如果

8、x

9、f(x)dx收敛，定义连续随机变量X的数学期望为E(X)xf(x)dx也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。由连续随机变量数学期望的定义不难计算：若X~U(a,b)，即X服从(a,b)上的均

10、匀分布,则abE(X)2若X服从参数为的泊松分布，则E(X)2若X服从N(,),则E(X)3.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是随机变量X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说g(X)的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量函数的数学期望计算问题。一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来。一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照数学期望的定义把E[g(X)]计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的。3那么是否

11、可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？答案是肯定的，其基本公式如下：设X是一个随机变量，Yg(X)，则g(xk)pk,X离散E(Y)E[g(X)]k1g(x)f(x)dx,X连续当X是离散时,X的概率函数为P(x)P(Xx)P,k1,2,；kKK当X是连续时，X的密度函数为f(x)。该公式的重要性在于，当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。4.数学期望的性质（1）设C是常数，则E(C)=C。（2）若k是

12、常数，则E(kX)=kE(X)。（3）E(XX)E(X)E(X)。1212nn推广到n个随机变量有E[Xi]E