随机变量的数学期望与方差.ppt

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1、§2.2随机变量的数学期望分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?两种分法1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/42.2.1数学期望的概念1654年帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下去，则甲最终所得X为一个随机变量，其可能的取值为0或100，分布列为X0100P1/43/4甲的“期望”所得是：01/4+1003

2、/4=75.上式中为各种可能的身高，而2.2.2数学期望的定义E(X)=例2.2.1解E(X)=1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X1012P0.20.10.40.3数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.注意点2.2.3数学期望的性质定理2.2.1设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X))存在，则例2.2.5设随机变量X的概率分布为求E(X2+2).X012P1/21/41/4例2.2.7某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这种原料的市场需求量X(单位:吨)服从(300,500)上的均匀分布.每售出1吨

3、该原料,公司可获利1.5(千元);若积压1吨,则公司损失0.5(千元).问公司该组织多少货源,可使平均收益最大?数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))练习1设X~求下列X的函数的数学期望.(1)2X1,(2)(X2)2解:(1)E(2X1)=1/3,(2)E(X2)2=11/6.§2.3随机变量的方差与标准差日走时误差（秒）-3-2-10123概率（甲）0.10.150.150.20.150.150.1概率（乙）0.050.050.10.60.10.050.05引例

4、：两个牌号手表的日走时误差情况如下表。问哪一种牌号的手表走时更为准确？问题：能否用一个数值来刻画随机变量X与其数学期望的偏离程度呢？2.3.1方差与标准差的定义定义2.3.1若E(XE(X))2存在，则称E(XE(X))2为X的方差，记为Var(X)=D(X)=E(XE(X))2该公式是计算方差一个很重要的公式(2)称注意点X=(X)=(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.为X的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.2.3.2方差的性质(1)Var(c)=0.性质2.3.2(2)Var(aX+b)=a2Var

5、(X).性质2.3.3(3)Var(X)=E(X2)[E(X)]2.性质2.3.1例2.3.1设X~,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)[E(X)2]=7/61=1/6课堂练习设则方差Var(X)=()。随机变量的标准化设Var(X)>0,令则有E(Y)=0,Var(Y)=1.称Y为X的标准化.2.3.3切比雪夫不等式设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则对任意正数ε，有下面不等式成立切比雪夫不等式也可以写成在概率论中注意点称为大偏差.称为大偏差发生的概率。其概率例2.3.2设X~

6、证明证明:E(X)==n+1E(X2)==(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)(EX)2=n+1,(这里,=n+1)由此得定理2.3.2Var(X)=0P(X=a)=1