利用期望与方差的性质求期望或方差

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1、利用期望与方差的性质求期望或方差E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y).数学期望的性质E(aX)=aE(X)E(C)=C当X,Y相互独立时，性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互独立.反例XYpij-101-1010p•jpi•注XYP-101但若X≥0，且EX存在，则EX≥0。推论:若X≤Y，则EX≤EY。证明：设X为连续型，密度函数为f(x),则由X≥0得：所以证明：由已知Y-X≥0，则E(Y-X)≥0。而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y)。性质2和3性质4例1.

2、设X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y相互独立，求E(3X＋2XY－Y＋5)。解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.例2.(二项分布B(n,p))设单次实验成功的概率是p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？解:引入则X＝X1+X2+…+Xn是n次试验中的成功次数。因此，这里，X～B(n,p)。例3.将4个可区分的球随机地放入4个盒子中,每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望.解一:设X为空着的盒子数,则X的概率分布为XP0123解二:再引入Xi,i=1,2,3,4.XiP10若X的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数

3、学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=E[X-E(X)]2方差注意：1)Var(X)0，即方差是一个非负实数。2）当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。方差的计算公式常用的公式：证明:例1.已知X的密度函数为其中A，B是常数，且E(X)=0.5.求A，B.(2)设Y=X2,求E(Y),D(Y).解:(1)(2)f(x)=(-6x2+6x)I(0,1)