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1、第38卷第6期陕西师范大学学报(自然科学版)Vol.38No.62010年11月JournalofShaanxiNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Nov.2010文章编号:16724291(2010)06002303矩阵期望与方差的若干性质孟红兵(陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062)摘要:研究了矩阵关于一个给定密度矩阵的期望、方差、协方差、绝对方差和独立性,证明了:()A与B是独立的当且仅当Cov(A,B)=0当且仅
2、当Exp(AB)=Exp(A)Exp(B);()如果A与B的数值域W(A)与W(B)分别包含在半径为R与S的圆盘中,那么
3、Exp(AB)-Exp(A)Exp(B)
4、!4RS且
5、Cov(A,B)
6、!4(A)(B),其中(A)、(B)为A、B的数值域半径.关键词:期望;方差;协方差;矩阵;密度矩阵中图分类号:O211.1文献标志码:ASomepropertiesofexpectationsandvariancesofmatricesMENGHongbing(CollegeofM
7、athematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi∀an710062,Shaanxi,China)Abstract:Someequalitiesandinequalitiesonexpectations,variances,covariances,absolutevarianceandindependenceofmatricesinagivendensitymatrixareestablished.Thefollowingresults
8、areproved:()TwomatricesAandBareindependentifandonlyifCov(A,B)=0ifandonlyifExp(AB)=Exp(A)Exp(B);()IfthenumericalrangesW(A)andW(B)ofAandBarecontainedindiskswithradiusRandS,respectively,then
9、Exp(AB)-Exp(A)Exp(B)
10、!4RSand
11、Cov(A,B)
12、!4(A)(B),wher
13、e(A),(B)arethenumericalradiusofA,B,respectively.Keywords:expectation;variance;covariance;matrix;densitymatrixMRsubjectclassification:60A99;81P45量子理论作为一种非经典概率论,在20世纪概念,引入并研究矩阵关于一个给定密度矩阵的期30年代初被vonNeumann整合为非交换测度理望、方差、协方差、绝对方差和独立性,建立关于它们论.这一方面的相关研究被称为
14、非交换概率论或量的若干等式与不等式性质;应用数值域半径,给出乘子概率论,在量子力学、统计力学及量子场论等领域积的期望与期望的乘积、和的方差与方差的和之间[15]有重要应用,得到算子论、算子代数学者的关注.的误差估计,得到协方差的上界估计,还将给出两个陈峥立等在文献[6]中研究了算子的期望和方差的矩阵独立性的几个等价刻画.一系列重要性质,给出了密度算子忠实性的一些刻本文用Mn(C)表示所有n阶复矩阵之集,并将画,研究了量子概率中的算子列的几种收敛性的关n其与算子代数B(C)等同.用tr(T)表示矩阵T
15、的系.在金融风险度量等方面,还存在许多问题需要扩迹.对于矩阵A∃Mn(C),用W(A)表示A的数值充普通数学期望这种线性泛函到一般情况,对此,我域,即国彭实戈院士等提出了一种非常有用的非线性期n[710]W(A)={%Ax,x&:x∃C,∋x∋=1}.(1)望###次线性期望,他们的研究成果不仅推广dn了经典概率论,而且为金融数学理论开创了新的研称(A)sup{
16、%Ax,x&
17、:x∃C,∋x∋=1}为A究方向.本文从另一角度推广经典数学期望等重要的数值域半径.它与范数之间有以下关系:收稿日期:20
18、100415基金项目:国家自然科学基金资助项目(10571113)作者简介:孟红兵,女,副教授,研究方向为概率统计与随机分析.Email:hbmeng@snnu.edu.cn.24陕西师范大学学报(自然科学版)第38卷∋A∋/2!(A)!∋A∋,A∃Mn(C),(2)定义2矩阵A、B的协方差Cov(A,B)定义为**当A是正规矩阵,即AA=AA时,有(A)=∋A∋.Exp((A-Exp(A))(B-Exp(B))).对于n阶
