对称矩阵与反对称矩阵的若干性质.pdf

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1、第19卷第6期牡丹江大学学报Vol.19No.62010年6月JournalofMudanjiangUniversityJun.2010文章编号：1008-8717（2010）06-0110-02对称矩阵与反对称矩阵的若干性质武秀美（菏泽学院数学系，山东菏泽274000）摘要：在高等代数中矩阵是研究问题的重要工具，对称矩阵与反对称矩阵作为特殊矩阵无论在理论方面，还是在实际应用方面都有很重要的意义．在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论这两种特殊矩阵的性质及应用．任何一个矩阵都可以唯一地分解成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．对称矩阵与反对称矩阵既有类似的性质，

2、也有各自特有的性质和应用．关键词：对称矩阵；反对称矩阵；可逆对称矩阵；可逆反对称矩阵中图分类号：O181文献标识码：A一、对称矩阵与反对称矩阵的类比性质矩阵的充要条件是ABB=A；性质1.1对称矩阵的转置矩阵仍是对称矩阵；反对2）若A为对称矩阵且B为反对称矩阵，则AB为称矩阵的转置矩阵仍是反对称矩阵．反对称矩阵的充要条件是ABB=A.性质1.2对称矩阵与反对称矩阵对于和、差、数乘TT性质1.9若A为任意方阵，1）A+A、AA为对运算都是封闭的.称矩阵；性质1.3两个对称（反对称）矩阵的乘积不一定是T2）A−A为反对称矩阵.对称（反对称）矩阵.nn×−1性质1.10

3、P中1）全体对称矩阵作成的数域P上性质1.41）若对称矩阵A可逆，则A也对称；−1nn(1+)2)若反对称矩阵A可逆，则A也是反对称矩阵.的空间的维数为维的.证明1）设A为对称的可逆矩阵，则22）全体反对称矩阵作成的数域P上的空间的维数−11TT−−1()()A==AAnn(1−)2）设A为反对称矩阵，则为维的.−11TT−−1−12()()()A=AAA=−=−性质1.111）对称矩阵的特征值都是实数；性质1.51）若对称矩阵A可逆，则A的伴随矩阵2）反对称矩阵的特征值都是0或纯虚数.∗A也对称；2）若奇数阶反对称矩阵A可逆，则A的伴二、对称矩阵的特有性质*k随

4、矩阵A也对称；若偶数阶反对称矩阵A可逆，则A的性质2.1设A为n阶对称矩阵，则A（k=1，2，∗…）也是对称矩阵.伴随矩阵A也反对称.性质2.2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同性质1.6若A对称（反对称），则它的合同矩阵也于一对角矩阵.对称（反对称）.证明设矩阵A对称，A与B合同，则存在可逆矩性质2.3设A为n阶实对称矩阵，λr是A的r重阵P，使特征值，则秩()λEAnr−=−，从而特征值λ恰好对rrTBPA=P应r个线性无关的特征向量.故性质2.4设A为n阶实对称矩阵，则必有n阶正交TTTTTBP===()APPAPB矩阵P使PAP−1=Λ，其中Λ是以A的n个

5、特征值为性质1.7若A、B为对称矩阵，则1）ABB+A为对角元素的对角阵.对称矩阵，2）ABB−A为反对称矩阵.性质2.5如果实矩阵A正交相似于对角矩阵D，性质1.8则A一定是实对称矩阵.1）A，B同为对称或反对称矩阵，则AB为对称收稿日期：2009-11-26作者简介：武秀美（1979—），女，山东菏泽人，菏泽学院数学系助教，硕士，研究方向：代数几何。110T性质2.6A是mn×矩阵，则AA是n阶对称矩为A=0.T阵；AA是m阶对称矩阵.性质3.8设λ是实反对称矩阵A的特征值，则−λ性质2.7设A，B都是n阶实对称矩阵，则A与B也是A的特征值.正交相似的充分必要

6、条件是A与B有相同的特征值.性质2.8n阶实对称矩阵A正定与下列条件等参考文献：价：[1]王萼芳,石生明.高等代数（第三版）[M].北京：高等教1）A与单位矩阵E合同.T育出版社，2003.2）存在n阶实可逆矩阵C，使得A=CC.3）设Aa=()，A的顺序主子式[2]程云鹏,张凯院,徐仲.矩阵论[M].西安：西北工业大学ijnn×aa"a出版社.11121kaa"a[3]陈殿友,术洪亮.线性代数[M].P151.21222k>0，(1kn=,2,,)…###[4]徐仲,陆全,张凯院等.高等代数三导丛书[M].北大第三aa12kk"akk版，西安：西北工业大学出版社

7、，2006:292.4）A的特征值都大于零.[5]徐仲,陆全,张凯院.高等代数考研教案[M].西安：西北三、反对称矩阵的特有性质性质3.1不存在奇数级的可逆反对称矩阵.工业大学出版社，2006:248.性质3.2反对称矩阵的主对角元素全为零.[6]王庆成,王晓易.线性代数学习辅导[M].科学技术文献性质3.3反对称矩阵的秩为偶数.性质3.4反对称矩阵的行列式为非负实数.出版社，P44.性质3.5设A为反对称矩阵，则A+E可逆（否则，[7]孙芬兰,陈一巾.线性代数[M].杭州：浙江大学出版社，-1为A的特征值，出现矛盾）.1993:73.性质3.6设A为反对称矩阵，

8、则A合同于