对称矩阵的性质.doc

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1、对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.1对称矩阵的定义定义1设矩阵，记为矩阵的转置.若矩阵满足条件，则称为对称矩阵.由定义知：1.对称矩阵一定是方阵.2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即，对任意、都成立.对称矩阵一定形如.定义2形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵.定义3若对称矩阵的每一个元素都是实数，则称为实对称矩阵.定义4若矩阵满足，则称为反对称矩阵.由定义知：1.反对称矩阵一定是方阵.2.反对称矩阵的元素满足，

2、当时，，对角线上的元素都为零.反对称矩阵一定形如.下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.2对称矩阵的基本性质性质1同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.性质2设为阶方阵，则，，是对称矩阵.性质3设为阶对称矩阵（反对称矩阵），若可逆，则是对称矩阵（反对陈矩阵）.性质4任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.性质5设为对称矩阵，与是同阶矩阵，则是对称矩阵.性质6设、都是阶对称矩阵，证明：也对称当且仅当、可交换.