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1、陕西理工学院毕业论文毕业论文题目对称矩阵的主子矩阵及其性质学生姓名学号所在院(系)数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)11级2班指导教师2015年6月12日第15页共15页陕西理工学院毕业论文对称矩阵的主子矩阵及其性质（陕西理工学院数学与计算机科学学院数教1102班，陕西汉中）指导教师[摘要]：本文总结了对称矩阵的主子矩阵的一些基本性质,探讨了对称矩阵的主子矩阵的特征值与原矩阵的关系,通过实例说明了主子矩阵的主子式的应用．[关键词]：对称矩阵;主子矩阵;特征值;主子式Principalsubmatrixanditspropertiesof
2、symmetricmatrixWangQiang(Grade02Class2011SchoolofmathematicsandcomputerscienceShaanxiUniversityofTechnologyHanzhongShaanxi)Tutor:Fang-anDeng[Abstract]：Thispaperisdividedintofourpartsanddiscussessomeimportantpropertiesofsymmetrymatrices,includingsomebasicpropertiesofsymmetrymatrices
3、,diagonalizationofsymmetrymatrices, eigenvalue,eigenvector,positivedefinitenessofsymmetrymatricesandetc.[Keywords]：Symmetricmatrix；Mastermatrix；eigenvalue；principalminor.1.引言矩阵在数学的许多分支中经常用到，比如线性方程组、二次型都可以归结为有关矩阵某些方面的研究，有些完全不同的性质归结为矩阵以后却是相同的。而对称矩阵的主子矩阵作为特殊的矩阵无论在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有重要意
4、义。那么对称矩阵的主子矩阵有什么特殊性质，又有那些实际应用呢？这就是本文的主要内容．2.预备知识2.1主子矩阵定义以矩阵对角线元为其对角线元的子矩阵，从1阶到阶.例1第15页共15页陕西理工学院毕业论文设对称矩阵矩阵为，则矩阵的一阶主子矩阵为,二阶主子矩阵为,三阶主子矩阵为:.2.2主子矩阵的性质由主子矩阵定义可知，对称矩阵的主子矩阵还是对称矩阵,所以对称矩阵的主子矩阵和对称矩阵有着相同的性质.定义2.2.1若矩阵=()(其中C),满足=，则称为对称矩阵．由定义知:(1)对称矩阵一定是方阵，并且它的元素满足=，因而对称矩阵形如.(2)对角矩阵和数量矩阵都是对
5、称矩阵．定义2.2.2若对称矩阵的每一个元素都是实数，则称为实对称矩阵.定义2.2.3若矩阵满足，则称为反对称矩阵.由定义知：(1)反对称矩阵一定是方阵.(2)反对称矩阵的元素满足，当时，，对角线上的元素都为零.形如的矩阵一定是反对称矩阵.(3)零矩阵是特殊的反对称矩阵．下面就对称矩阵的主子矩阵的一些基本性质展开讨论.第15页共15页陕西理工学院毕业论文性质2.2.1同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.证明设、是阶对称矩阵，即,.则，，.性质2.2.2设为阶方阵，则，，是对称矩阵.证明因为，则是对称矩阵.因为，则是对称矩阵，同理可证也是对称矩阵.性质2.
6、2.3设为阶对称矩阵（反对称矩阵），若可逆，则是对称矩阵（反对称矩阵）.证明（1）因为可逆，，，所以是对称矩阵.（2）因为可逆，，，则是对称矩阵.性质2.2.4对任意n阶方阵必能分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．证明设A是任意n阶方阵，则=+,=–=–（–）,由性质1得与分别为对称矩阵与反对称矩阵．而=+,因此，可分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．注意：此性质为矩阵的对称分解，对任意n阶方阵可利用此性质分解为=+,其中=，=分别为对称矩阵与反对称矩阵．由此命题的证明过程可得以下推论.推论任意方阵与其转置之和为对称矩阵，之差为反对称矩阵．性质2.2
7、.5对n阶反对称矩阵，若n为奇数，则
8、
9、=0.证明设为n阶反对称矩阵，因此，=–，则
10、
11、=
12、–
13、=
14、
15、，又
16、
17、=
18、
19、，所以
20、
21、=
22、
23、，当n为奇数时,有
24、
25、=
26、
27、=–
28、
29、，故
30、
31、=0.第15页共15页陕西理工学院毕业论文推论一个n阶反对称矩阵可逆的必要条件是n为偶数．注：n为偶数是n阶反对称矩阵可逆的必要条件而非充分条件，例如零矩阵是反对称矩阵，其行列式为零，因而是不可逆的，特别地，当n为偶数时，是不可逆的．3.插值关系引理3.1[8，10]（Cauchy-poincaré）设为阶实对称矩阵,为整数,,是的阶主子矩阵，则这就是著名的Cauchy-poincar
32、é定理，简称柯西插值定理或交错分布定理.定义3.2[
