对称矩阵的性质.docx

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1、对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.1对称矩阵的定义定义1设矩阵A(aij)sn，记AT(aji)ns为矩阵的转置.若矩阵A满足条件AAT，则称A为对称矩阵.由定义知：1.对称矩阵一定是方阵.2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aijaji，对任意i、j都a11a12a1n成立.对称矩阵一定形如a12a22a2n.a1na2nanna100定义20a20形式为的矩阵，其中ai是数(i1,2,,l)，通常称为00al对角矩阵.定义3若对称矩阵A的每一个元素都是实数，则称A为实对

2、称矩阵.定义4若矩阵A满足ATA，则称A为反对称矩阵.由定义知：1.反对称矩阵一定是方阵.2.反对称矩阵的元素满足aijaji，当ij时，aiiaii，对角线上的元素0a12a1n都为零.反对称矩阵一定形如a120a2n.a1na2n0下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.2对称矩阵的基本性质性质1同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.性质2设A为n阶方阵，则AAT，AAT，ATA是对称矩阵.精品文档性质3设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则A1是对称矩阵（反对陈矩阵）.性质4任一nn矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.性质5设A为对称矩阵

3、，X与A是同阶矩阵，则XTAX是对称矩阵.性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换.。1欢迎下载精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。2欢迎下载