对称矩阵及其性质.pdf

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1、对称矩阵及其性质对称矩阵及其性质在多元概率统计学中，我们经常遇到求两个随机向量之间的方差—协方差矩阵的问题，如果这两个随机向量维数相同，这正好得到一个是对称矩阵，因此深入了解实对称阵的各种性质是很有必要的.本文将对实对称阵的概念、实对称阵的一些结论、常见的实对称阵进行总结，必要的时候会做一些证明.第一部分、对称矩阵及其常用的性质本次作业的内容主要总结线性代数中最常见的一种矩阵——对称矩阵.介于高等概率统计这门课程的性质，我们主要针对实数空间上面的矩阵（如果不做说明，本文所涉及到的所有矩阵都是实矩阵），至于更加普遍的复数空间上面的复矩阵问题，有兴趣可以参考文

2、献[1]的相关内容.一、对称矩阵T定义1.1设A是方阵.如果A=A,则称A为实对称方阵也称实Hermite阵.如果TA=A，则称A为反对称方阵（反Hermite阵），也称斜对称方阵.（见[2]）定义1.2设A是n阶方阵，在方阵特征值的最小多项式中，我们把特征值0的指标叫做矩阵A的指标，记作Ind()A，即k1kInd()Aminkrank:ArankA.若A非奇异（可逆）Ind()A0.若A奇异（不可逆）Ind()1A.（文献[3]、[4]）关于对称矩阵以及矩阵指标的定义，我们很容易得到下面的几个结论：T（1）对于mn阶矩阵A，AA是对称

3、方阵；2（2）对于一个对称矩阵A，如果满足A0，那么A0；（3）设A，B都是实对称阵，那么AB，kA都是对称矩阵，其中k是标量；（4）设A，B都是实对称阵，那么AB对称当且仅当A，B可交换；（5）对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵；TT（6）对于一个对称矩阵A，rankArank(AA)rank(AA)；-1-对称矩阵及其性质（7）对于一个对称矩阵A，Ind()1A.nnii（8）如果A是对称矩阵，对于一个多项式fx()axi，则f()AaiA也是一i0i0个对称矩阵.（9）任一对称方阵都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，并且表示

4、方法唯一.这里我们只对结论（4）、（6）、（7）的证明进行提示，（1）、（2）、（3）、（5）、（8）（9）直接根据对称矩阵的定义或者其他三个的结论即可得到.TTT事实上，对于（4），(AB)BABA=AB当且仅当AB=BA.那么根据可逆矩阵的定义（左右都可逆）易知（5）成立；（6）的证明只需注意到对于任意一个mn阶TT矩阵A都满足：rankArank(AA)rank(AA)（此结论证明参见[5]、[6]）；至于（7）的证明只需考虑矩阵A的对称性以及矩阵指标的定义即可；（8）、（9）的证明直接利用矩阵A的对称性.二、对称矩阵常见的性质与应用以上介

5、绍了对称矩阵的基本概念，作为对称矩阵最常见的一种应用——二次型是我们经常碰到的问题（这里所介绍的正定矩阵或半正定矩阵都是在对称方阵的前提下定义的，至于更一般的正定矩阵、半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵，文献[4]、[7]中有更详尽的讨论），这里以二次型作为开始，以性质的形式介绍一些对称阵常用的定理与应用：性质1与对称矩阵相合（合同）的矩阵仍为对称矩阵.与反对称矩阵相合的矩阵仍是反对称矩阵.提示：直接利用对称矩阵以及反对称矩阵的定义，再利用相合矩阵的定义即可.（参见[2]）性质2设矩阵A是数域F上的n阶对称矩阵，则存在F上的可逆方阵P使得TDPAP是对角矩

6、阵.其中的对角元素可以按照任意指定的顺序排列.提示：对矩阵A的阶数n用数学归纳法证明此结论.（参见[2]）性质3设矩阵A是实数域F上的n阶对称矩阵，则存在n阶实可逆方阵P，使得TPAPdiag(I,I,0)()p()q(npq)-2-对称矩阵及其性质其中pqrankA，diag(I,I,0)成为是对称矩阵相合的规范形.()p()q(npq)提示：利用性质2，在利用矩阵相抵（等价）的结论即可性质4设矩阵A是实对称矩阵，且rankAr，则A可以表示成r个秩等于1的对称矩阵之和.事实上，设矩阵A是实对称矩阵，且rankAr，则存在可逆方阵P

7、将A相合到标准形：TPAPDdiagd(,,d,0,,0)dEdE1r111rrr其中d,,d都不为0，E表示第i行与第i列的元素为1，其余元素为0的矩阵，取1rii1PP，则1TTSPDPP(dEdE)PSS111111rrr11rT其中，每个SP(dEP)与对称矩阵dE相合，因而是对称矩阵，且i1iiiiiirankSrankd(E)1iiii这就证明了A是r个秩等于1的对称矩阵S之和.iT性质5实对称矩阵A正定当且仅当存在可逆矩阵P使得APP.性质6（正定阵的Cholesky分解或者三角分解）设nn阶

8、正定矩阵A，则存在唯一T的具有正对角线元素的下三角阵L，使得A=L