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1、实对称矩阵的若干简单性质张冰摘要：本论文首先介绍了转置矩阵、对角矩阵等相关定义及实对称矩阵的定义，然后对实对称矩阵的若干简单性质进行了研究与证明，包括实对称矩阵的对角化等，并且给出了具体例子.关键词：矩阵；实对称矩阵;对角化；应用 SomeBasalPropertiesofTheRealSymmetricMatrixeszhangbing（20112112147Class2Grade2011Mathematics&AppliedMathematicsSchoolofMathematics&StatisticsScience）Abstract:T
2、hispaperfirstintroducestheconceptsoftransposematrixes,diagonalmatrixes,realsymmetricmatrixesandsomerelateddefinitions.Thenitmakessomeresearchesandproofsonsomebasalpropertiesofrealsymmetricmatrixes,suchasthediagonalizationofrealsymmetricmatrixesandgivessomeexamples.Keywords:ma
3、trix;realsymmetricmatrix;diagonalization;application1引言与基本内容1.1引言矩阵是高等代数中的重要组成部分,有各种各样的问题都提出了矩阵的概念，这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，从而矩阵也是主要的研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，实对称矩阵有很多特殊性质,是研究二次型,线性空间和线性变换问题的有利工具,实对称矩阵中的一些基本性质,定理,对角化等是高等代数中的重难点.在文献[2]中,作者王文省详细给出了转置和对称矩阵的概念.在文献[3]中,作者王萼芳介绍了实对称矩阵对角化的性质,
4、并着重强调了实对称矩阵的方法.本篇论文介绍了实对称矩阵的相关定义和若干简单性质,进一步对这些性质进行了研究与证明,并且给出了具体例子，说明了其应用.1.2基本内容定义1形如的纵横排列的二维数据表格称为m行n列矩阵，简单记为，其中，，当时，A为n阶方阵.定义2一个矩阵A的行与列相互交换后得到的矩阵叫做的转置矩阵，简称的转置，记为，或者，即.定义一个矩阵，它的转置为,如果，则称为对称矩阵,如果，则称为反对称矩阵.定义对于矩阵，如果它的各个元素都为实数，并且，即，那么称为实对称矩阵.定义除主对角元外，其他元素均为0的形如的n阶方阵（主对角线上的元素可为
5、零也可为其他），叫做对角阵.定义矩阵，如果，则称A为正交矩阵.1主要内容1.1实对称矩阵的若干性质性质如果矩阵为对称矩阵，那么也为对称矩阵，（）.证明：因为矩阵为对称矩阵，所以有，又因为，，根据对称矩阵的定义得出也为对称矩阵。性质如果矩阵和矩阵都是对称矩阵，则也是对称矩阵的充分必要条件是.证明：因为矩阵和都是对称矩阵，所以有，先证必要性，设对称，那么有，又有，所以，再证充分性，设，又，所以，即是对称矩阵。性质如果矩阵A是数域p上的一个上三角形矩阵并且A也是对称矩阵，则矩阵A是个对角阵.证明：设矩阵是一个m行n列的上三角形矩阵，即，又因为矩阵也是对
6、称矩阵，所以有即，则，（），即矩阵为对角阵.性质如果矩阵A为实对称矩阵且满足那么.分析：设，，的第行第列的元素为，对角线上的元素为，所以，证明：设，因为A为是实对称矩阵，则有，那么从而（），所以（），则.性质假设矩阵为可逆对称（反对称）矩阵，那么也是对称（反对称）矩阵.证明：因为矩阵可逆，有，两边取转置得到，由为对称矩阵，有，则，所以，即也为对称矩阵，命题得证.性质若矩阵是一个n阶对称矩阵，且满足对对任意一个n维向量有，则有成立.证明：因为是对称矩阵，且，则有也就是说是一个多元零多项式，所以有，（），即证得.性质若A是一个实对称矩阵，那么当实数t
7、充分大之后，是正定矩阵.证明：，它的k级顺序主子式为△k=,△k是关于t的k次多项式，且首项系数为1，所以，当t充分大时，△k>0,即当t充分大时，是正定矩阵.性质两个n阶实对称矩阵与相似的充分必要条件是这两个矩阵有相同的特征多项式.证明：先证必要性，如果矩阵与相似，则存在一个可逆矩阵，使得，则，即两个矩阵有相同的特征多项式。再证充分性，如果与有相同的特征多项式，那它们就有相同的特征值，则存在可逆矩阵，使得，，所以，令，则，所以矩阵A与B相似.定理如果A是实对称矩阵，那么矩阵A的特征值都是实数.证明：假设是的一个特征值，那么就有非零向量，使得，令
8、（为的共轭复数，），那么，等式,等式左边为，等式右边为，则有，又因为是非零向量，那么，所以得出，也就是说是一个实数，即矩阵A的特征值都是
