对称矩阵与对称变换

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1、9-5对称矩阵与对称变换我们已学习了欧氏空间的重要线性变换正交变换,而对称变换是欧氏空间的另一类重要的线性变换，它使得Ｖ有一个由σ的特征向量所组成的正交基。▲对称变换的定义设σ是欧氏空间Ｖ的一个线性变换，如果对于Ｖ中任意向量ξ,η,等式（σ(ξ)，η）＝（ξ，σ（η））成立，那么就称σ是一个对称变换。▲对称变换的充要条件σ关于Ｖ的任意标准正交基的矩阵是对称矩阵。对称变换与对称矩阵的关系：设n维欧氏空间中的线性变换A在任意标准正交基下的矩阵为A，则A是对称矩阵的充分必要条件是A为实对称矩阵.对任意对称矩阵A，必有n阶正交矩阵T，使得结论：任意一个实二次型

2、都可以经过正交变换可化成标准形。◆实对称矩阵的特征根都是实数◆ｎ维欧氏空间的一个对称变换属于不同特征根的特征向量彼此正交◆对称变换σ满足：任意α，β∈V,(σ(α),β)=(α,σ(β))◆σ是对称变换,V1是σ-不变子空间,则V1⊥也是σ-不变子空间从而线性相关的结论，即σ（α1），…，σ（αn）线性相关(σ单射)→α1，…，αn线性相关所以同构映射不仅保持线性相关，而且保持线性无关，也就是说，同构映射保持线性相关性。一般线性映射只保持线性相关。反例：零映射。如果σ（α1），…，σ（αn）线性相关，希望α1，…，αn线性相关，那么要求σ具备什么条件呢

3、？因为σ（α1），…，σ（αn）线性相关，所以存在一组不全为零的数使于是当σ是单射时有用正交变换,把对称矩阵A正交化的步骤:1.求A的全部特征值;2.对每一个特征值,求对应的齐次线性方程组的基础解系,并利用schimidt得到标准正交向量组;3.利用上面的正交组,构造正交矩阵P,满足P`AP是对角矩阵结合二次型理论我们得到利用正交变换化二次型为标准形方法Theorem8:任意一个实二次型都可以经过正交变换,变成标准形,且平方项的系数恰好是二次型矩阵的特征值.思考题正交矩阵的特征值是否全是实数?用特征值给出二次型为正定二次型的充分必要条件.作业:P396

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