对称变换和对称矩阵

《对称变换和对称矩阵》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、7.5对称变换和对称矩阵授课题目：7.5对称变换和对称矩阵教学目的：1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题．2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质．3．对一个实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使为对角形授课时数：3学时教学重点：对称变换的特征根、特征向量的性质;对实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使为对角形教学难点：定理7.5.4的证明教学过程：一、对称变换1、一个问题问题：欧氏空间V中的线性变换应该满足什么条件，才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形？V满足：2

2、、对称变换的定义设是欧氏空间V中的线性变换，如果都有、则称是V的一个对称变换例1以下的线性变换中,指出哪些是对称变换?3、对称变换与对称矩阵的关系Th1：n维欧氏空间V中的线性变换是对称变换的充分必要条件是：关于任意一个正交基的矩阵是实对称矩阵证：必要性：设是对称变换，关于V的标准正交基的矩阵是A=即A则因是对称变换，是标准正交基，所以因此，A是对称矩阵充分性设关于V的标准正交基的矩阵是A=是实对称矩阵，即A，A=对任意，有于是AA其中A，A分别是，关于标准正交基的坐标列向量，因此因A=故=一、对

3、称变换的基本性质1、特征根的性质Th2实对称矩阵的特征根都是实数证明：设A=是一个n阶实对称矩阵，是A在复数域内的任意一个特征根，是A的属于特征根的特征向量，于是有记，两端取共轭转置，由复数共轭的性质及得所以A=又因为即A=所以即对称变换的特征多项式在C内的根都是实根2、特征向量的性质Th3：n维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根向量彼此正交。证：设是n维欧氏空间欧氏空间V的一个对称变换，是V的特征向量。则则有=因为一、主要结果1、主要定理Th4：设是n维欧氏空间的一个对称变换，那么存在的一个

4、标准基，使得关于这个基的矩阵是对角形式。证明：对n用数学家归纳法，n=1时是明显的，因为关于任意单位向量的矩阵都是对角形式。设n>1，并且假设对于n-1维欧氏空间的对称变换来说定理成立，现在设n维欧氏空间的一个对称变换，有特征根，令是的一个特征根，是中属于的一个特征向量，并且可设是单位向量：令，在之下不变也在之下不变，事实上，设，对于任意我们有所以，在上的限制是的一个对称变换，并且的特征根都是的特征根，因。2、求使为对角形正交矩阵U的步骤.Th5：设A是一个n阶实对称矩阵，那么存在一个n阶正交矩阵

5、U，使得是一个对角形。按下列步骤求出使（A是实对称矩阵）为对角形的正交矩阵U，（1）求实对称矩阵A的全部特征根。（2）对每个不同和特征根，求出齐次线性方程解（）X=的基础解系，并将其正交化、单位化，得到A的属于特征根的一组两两正交的单位特征向量。（3）以这些单位特征向量为列作成一个矩阵U，则U就是要求的正交阵，以U的列为坐标写出对应的向量，它是的特征向量组成的标准正交基。例3：设A=求正交矩阵U，使为对角形矩阵。解：因为A的特征多项式为，故A的特征根为1（三重）和-3（单根）。当=1时，（）X=的

6、基础解系为：把它正交化得：当时，（-3I-A）的基础解系为单位化得以为列作矩阵，则U是正交矩阵。