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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划对称矩阵合同 第九章二次型 习题 1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同． 2．对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使是对角形式：(i)(ii)(iii) 3 ．写出二次型 型，使后者只含变量的平方项．的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次 4．令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件 (i)A必与如下形式的一个矩阵合同：． (ii)斜对称矩阵的秩一定是偶数． (iii)F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩
2、． 复数域和实数域上的二次型 1．设S是复数域上一个n阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵A，使得 ． 2．证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 3．证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同： 4．证明，一个实二次型可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q
3、的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于0． 5．令 证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得 6．确定实二次型的秩和符号差．． 7．确定实二次型的秩和符号差． 8．证明，实二次型的秩和符号差与无关． 正定二次型 1．判断下列实二次型是不是正定的 : ; 2．取什么值时,实二次型 ，是正定的. 3．设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数,使得 4．证明,阶实对称矩 阵目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其
4、的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 ,阶子式是正定的.是正定的,必要且只要对于任 意 5．设是一个阶正定实对称矩阵.证明 当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立. [提示:对作数学归纳法,利用定理的证明及习题4.] 6．设是任意阶实矩阵.证明 (阿达马不等式). [提示:当时,先证明是正定对称矩阵,再利用习题5.] 主轴问题 1．对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得具有对角形式 : ; ; 2．设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一
5、个正定对称矩阵S使得 ． 3．设A是一个阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得． [提示:是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得=.再看一下U应该怎样取．] 4目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 ．设 使得 是一组两两可交换的阶实对称矩阵.证明,存在一个阶正交矩阵U,都是对角形矩阵.[提示:对作数学归纳法,并且参考,习题9.]
6、 矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵秩合同对角化 定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为A? B B 定义2：设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得B?P?1Ap，则称A和B相似A? 使得PTAP?B 那么就说，在数域F上B与A合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，
7、相似变换完全相似目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即P?Q1Q2?Qm。 TT 此时P7?QmTQn?Q1边为一系列初等矩阵的乘积?1 TTT若B?PTAP?QmQn?1?Q1AQ1?Qm则B由A经过一系列初等变换得到。所以 定义3：设A，B都是数
