期望与方差的性质

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1、1E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y).B.数学期望的性质E(aX)=aE(X)E(C)=C当X,Y相互独立时，2性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互独立.反例XYpij-101-1010p•jpi•注3XYP-101但4若X≥0，且EX存在，则EX≥0。推论:若X≤Y，则EX≤EY。证明：设X为连续型，密度函数为f(x),则由X≥0得：所以证明：由已知Y-X≥0，则E(Y-X)≥0。而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y)。5性质2和3性质4例1.设X

2、～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y相互独立，求E(3X＋2XY－Y＋5)。解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.6例2.(二项分布B(n,p))设单次实验成功的概率是p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？解:引入则X＝X1+X2+…+Xn是n次试验中的成功次数。因此，这里，X～B(n,p)。7例3.将4个可区分的球随机地放入4个盒子中,每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望.解一:设X为空着的盒子数,则X的概率分布为XP01238解二:再引入Xi,i=1,2,3,4.XiP109例4.将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个

3、盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望。解:引入随机变量:则X=X1+X2+…+XM,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,…,M.10因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-1/M).故，n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n,即:11注：129页4.27以此题为模型。12例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即P{第k次生产出的产品是正品}=假设每次生产100件产品，试求这台机器

4、前10次生产中平均生产的正品总数。解：设X是前10次生产的产品中的正品数，并设13例5.（续）14例6.某厂家的自动生产线，生产一件正品的概率为p(0

5、要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的.§4.2随机变量的方差17例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好.中心中心18为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的方差19设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X))2存在,则称它为X的方差（此时，也称X的方差存在)，记为Var(X)或D(X),即定义称Var(X)

6、的算术平方根为X的标准差或均方差，记为(X).A.方差的概念Var(X)=E(X-E(X))220若X的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=E[X-E(X)]2方差21注意：1)Var(X)0，即方差是一个非负实数。2）当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。22方差的计算公式(1)若X为离散型，概率分布为(2)若X为连续型，概率密度为f(x),则则23方差的计算公式常用的公式：证明:24常见随机变量

7、的方差(1)参数为p的0－1分布概率分布为：前面已经计算过：E(X)=p，又所以25概率分布为：已计算过：E(X)=np，又所以(2)二项分布B(n,p)26概率分布为：已计算过：E(X)=λ，又所以(3)泊松分布P(λ)27概率密度为：已计算过：E(X)=(a+b)/2，又所以(4)区间[a,b]上的均匀分布U[a,b]28概率密度为：已计算过：E(X)=1/λ，又所以(5)指数分布E(λ)29概率密度为：已计算过：E(X)=，所以(6)正态分布N(,2)30例7.设求E(Y),D(Y).解:3132例8.已知X的密度函数为其中A，

8、B是常数，且E(X)=0.5.求A，B.(2)设Y=X2,求E(Y