期望、方差协方差

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1、随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D

2、(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？   证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得    COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}        =E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)      =E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)] =D(X)-D(Y) 三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分

3、布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0=1,00)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a),a

4、方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ),X>0;f(X)=0,X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π*ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)),(-∞0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{

5、X-E(X)

6、≥ε}≤D(X)/ε²成立。等价于：P{

7、X-E(X)

8、＜ε}≥1-D(X)/ε²推论：D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数

9、，即P{X=C}=1，C为常数。其实，C=E(X)。五、协方差Cov（X,Y）性质一：Cov(X,Y)=Cov(Y,X);性质二：Cov（aX,bY)=abCov(X,Y);性质三：Cov（X1+X2，Y）=Cov（X1,Y）+Cov（X2,Y）；性质四：X，Y相互独立，则Cov（X,Y）=0。关于相关系数ρ：若X,Y的协方差Cov（X,Y）存在，且D(X)>0,D(Y)>0,则Ρ=Cov（X，Y）/(√D(X)*√D(Y))性质一：

10、ρ

11、≤1；性质二：

12、ρ

13、=1的充分必要条件，存在常数a,b使得P{Y=aX+b}=1①当X,Y相互独

14、立时，Cov（X,Y）=0，若相关系数ρ存在，则，X,Y不相关；②若X,Y不相关，则X,Y不一定相互独立。不相关是指X,Y不存在线性关系，但他们之间可以存在其他某种函数关系，比如：Y=X²，因此，X,Y未必相互独立。