协方差分析-协方差分析

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1、第十章协方差分析第一节协方差分析的意义协方差分析冇二个意义，一是对试验进行统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述如F。—、对试验进行统计控制为了捉高试验的精确性和准确性，对处理以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。但在冇些悄况下，即使作出很大努力也难以使试验控制达到预期冃的。例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的増重。经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但是，在实际试验中很难满足试验仔

2、猪初始重相同这一要求。这时可利用仔猪的初始重（记为£与其增重（记为），）的回归关系，将仔猪增重都侨止为初始重相同时的增重，丁是初始重不同对仔猪增重的影响就消除了。rti于矫正后的增重是应用统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过这种矫止,试验误差将减小，对试验处理效应估计更为准确。若y的变异主要由x的不同造成（处理没冇显著效应），则各矫正后的间将没有显著差界（但原y间的差异可能是显著的）。若y的变界除掉兀不同的影响外，尚存在不同处理的显著效应，则可期望各y

3、'间将冇显著差异（但原y间差异可能是不显著的）。此外，侨正后的y'和原y的大小次序也常不一致。所以，处理平均数的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够捉高试齡的准确性和精确性，从而更真实地反映试验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起，对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析（analysisofcovariance）。二、估计协方差组分在笫八章曾介绍过表示两个和关变量线性和关性质与程度的相关系数的计算公式:'工O-刃$若将公式右端的分了分母同除以自由度S-1）,得X(x-x)2/■A-1)「工（）

4、一刃2/_A-1）^(x-x)(y-y)/(7i-l)(10-1)其川工是兀的均方ms’，它是%的方差o；的无偏估计量;是y的均方MS、.，它是）啲方差兀的无偏估计量;X)(y亍)称为兀与y的平均的离均差的乘积利简称均积，记为MP.V即py(工")(工刃Y(x-x)(y-y)乙兀)一MP亍乙"-n-1(10-2)nn-1n-1与均积相应的总体参数叫协方差(covariance),记为COV(x,y)或叭.。统计学证明了,均积MP.。,是总体协方差COV(x,y)的无偏估计量，即EMPxy=COV(x,

5、y).于是，样木相关系数河用均方MS*、MS”均积MP*〉,表示为：(10-3)MP,、.札I应的总体相关系数。可用兀与y的总体标准差、＜rv，总体协方差COV(xj)或＜7小表示如卜•：(10-4)COV^y)务)，P==——axayaxay均积与均方具冇相似的形式，也冇相似的性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与白由度可按变异來源进行剖分，从而求得相应的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均积。这种把两个变虽的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并获得获

6、得相应均积的方法亦称为协方差分析。在随机模型的方差分析中，根据均方MS和期望均方EMS的关系，可以得到不同变异來源的方差组分的估计值。同样，在随机模型的协方差分析中，根据均积MP和期望均积EMP的关系，可得到不同变异来源的协方差组分的估计值。冇了这些佔计值，就可进行相应的总体相关分析。这些分析在遗传、育种和生态、环保的研究上是很有用处的。由于篇幅限制，本帝只介绍对试验进行统控制的协方差分析。第二节单因素试验资料的协方差分析设有R个处理、n次重复的双变量试验资料，每处理组内皆有料对观测值兀、)，，则该资

7、料为具如对兀、y观测值的单向分纟fl资料，其数据一般模式如表10—1所示。表10-1加对观测值小y的单向分组资料的一般形式处理处理1处理2处理i•••处理R观测指标XyXyXy•••XX11nX21y2iX,-lynXki加观测值X12y2X22y22占2y<2•••Xk2)咲2Xq、yij•••••••••••••••••••••••••••XJV-•-XiJ•••Xk.jyk.i•••••••••••••••••••••••••••XV1KX2n畑Xinyin•••ykn总和Xi.X2・J

8、2.Xj.片.•••兀平均数Xj.Fl，丘2・岳.•••耳・表10—1的x和)变量的自山度和平方和的剖分参见单因素试验资料的方差分析方法一节。其乘积和的剖分则为：总变异的乘积和SPT是七与元.和儿与艮.的离均差乘积Z和,即:«"kHXV(10-5)SPt=££(勺-元••)()》-『••)=££xij打7~«=1/=!»=]/=!Kn处理间的乘积和SPt是无.与元.和升与艮.的离均差乘积Z和乘以“，即:dft=k-(10-6)处理内的乘积和是X..与和