协方差分析课件.ppt

《协方差分析课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、方差分析中，所接触到的各种处理多数都是人为控制的。有时一些变量很难或者不可能人为控制，对于这种情况则不能用第三章所述的方差分析方法，推断处理之间的差异而应用协方差分析的方法做推断。例如，在研究不同饲养条件下，动物的增重情况时，由于动物的原体重不同，如果只考虑饲料对增重的作用而不考虑原体重时增重的影响，显然是不全面的。动物的增重不仅与饲料有关，而且还与原体重有关。一般来讲，原体重高的增童较多，原体重低的增重较少，增重与原体重之间有回归关系，为了得到正确的结论，就要在排除原体重对增重的影响之后，推断处理的效应。这就是本章所要讨论的协方差分析。在协方差分析中

2、，通常将动物增重称为反应变量(responsevariable)Y，而与Y有线性回归关系的另一变量(原始体重)称为伴随变量(concomitantvariable)或协变量(covariate)X。协方差分析就是通过反应变量与协变量之间的线性关系，调整观察的反应变量。假若不做这种调整，由于协变量的存在会使误差平方和加大，其结果有可能检验不出反应变量在不同处理之间所存在的真正差异。因此，协方差分析是一种调整无法控制又影响效应的变量的方差分析方法，是方差分析与回归分析的结合。在上述动物重实验中，很难将全部实验动物都选为具有相同体重的个体，动物的原体重是无法

3、控制的变量，而原体重对增重又有明显的影响，使用协方差分析，便可排除原体重X对增重Y的影响，使结果更为可靠。第一节具一个协变量的一种方式分组的协方差分析（one-wayclassificationwithasinglecovariate）本节讨论协方差分析中最简单的一种情况，即以只有一个协变量的单因素实验设计的协方差分析为例，说明协方差分析的基本原理和计算方法。单因素协方差分析的统计模型是：其中yij是第i次处理所得到的反应变量的第j次观察值。cij是相当于yij的协变量值。c··是cij的平均数，m是总平均数，ai是第i次处理效应，b是yij在cij上

4、的线性回归系数，eij是随机误差成份。做协方差分析，需要满足以下几个条件：eij是服从正态分布的独立随机变量；b≠0，即yij与cij之间存在线性关系；各处理的回归系数都相同；处理效应之和等于零（∑ai＝0）以及协变量不受处理效应的影响等。从（4·1）式中可以看出：协方差分析的模型是方差分析和回归分析线性模型的结合。ai是单因素方差分析中的处理效应，b是回归分析中的回归系数。在（4·1）式中的协变量是以（cij－c··）的形式而不是以cij的形式表示的，因此参量m是总的平均值。统计模型的另一种形式是：其中m’并不等于总平均值。在这个模型中，总平均值为m

5、－bc··。经常使用的模型是（4·1）式。协方差分析需要计算以下一些量：以上各式的符号：S、T和E分别表示总的、处理的误差的平方和及交叉乘积和。它们之间的关系可用通式S＝T＋E表示。仔细阅读并分析以上各式，弄清楚各式的意义，对下面的学习是有益的。协方差分析的核心，就是通过协变量调整反应变量。下面讨论如何做这种调整。在统计模型（4·1）中，m的估计值为c··，b的估计值为b*，处理效应ai的估计值为ci·－c··－b*（ci·－c··）。其中，在这个模型中，误差平方和SSe为：具a(n－1)－1自由度。实验误差均方由下式估计，若实验不存在处理效应，模型（

6、4·1）将变为：具an－2自由度，其中S2XY／SXX是由于Y和X的回归所产生的平方和。如果实验本身存在处理效应，但却按不存在处理效应对待，这时所计算出来的误差平方和SS’e要大于按存在处理效应计算所得到的误差平方和SSe。两者的差（SS’e－SSe）是由于处理效应ai所产生的平方回归系数，具a－1自由度。可用F检验不存在处理效应的假设。若F＜Fa－1,a(n－1),a，则接受H0：ai＝0；若F＞Fa－1,a(n－1),a，则拒绝H0：ai＝0。将以上结果列在表4－1中。表4－1协方差分析－调整的方差分析变差来源平方和自由度均方F回归处理误差S2XY

7、／SXXSS’e－SSe＝(SYY－S2XY／SXX)－(EYY－E2XY／EXX)SSe＝EYY－E2XY／EXX1a－１a(n－1)－1(SS’e－SSe)／(a－1)MSe＝SSe／[a(n－1)－1](SS’e－SSe)／(a-1)／MSe总和SYYan－1表4－1与方差分析表基本上是一致的。所不同的是没一项平方和都是经过调整的。因此，协方差分析又称为调整的方差分析。在变差来源一列中，总的变差是由具an－1自由度的SYY度量的；回归的变差由具1自由度的平方和S2XY／SXX度量。假若不存在协变量，则SXY＝SXX＝EXY＝EXX＝0。误差平方和

8、将简化为EYY，处理平方和为SYY－EYY＝TYY，成为一种方式分组的方差分析。然而由于存在协