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1、学案7正弦定理、余弦定理及应用(2)a=2RsinA,b=2RsinB,;(3)sinA=sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.返回目录1.正弦定理:其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:a:b:c=sinA:sinB:sinC;(1)2Rc=2RsinC返回目录2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=.3.S△ABC=absinC==acsinB==(a+b+c)·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accos
2、Ba2+b2-2abcosCbcsinA返回目录4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其他边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其他边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;(2)已知三边问题.5.解三角形的类型△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:返回目录返回目录7.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角（如图3-7-1中①)
3、.6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.上方下方(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图3-7-1②).(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.返回目录正北返回目录(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c;(2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求边b和c.【分析】已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.考点一正弦定理的应用返回目录【解析】(1)由正弦定
4、理得sinA=.∵a>b,∴A=60°或A=120°.①当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,∴c=.②∵当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,∴c=.由①②知,A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.由正弦定理,得b=·a=4,c=·a=4+4.返回目录返回目录【评析】(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,
5、应引起注意.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.(1)求B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.【分析】由,利用余弦定理转化为边的关系求解.考点二余弦定理的应用返回目录返回目录【解析】(1)由余弦定理知,cosB=,cosC=.将上式代入得整理得a2+c2-b2=-ac,∴cosB=∵B为三角形的内角，∴B=π.(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB，∴b2=16-2ac(1-),∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.返回目录返回目录【
6、评析】（1）根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.＊对应演练＊在△ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,B=,b=,a+c=4,求a.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac,∵a+c=4,b=,∴ac=3,a+c=4ac=3,返回目录联立解得a=1或a=3.返回目录在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小
7、;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求的值.考点三正、余弦定理的综合应用【分析】(1)b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想到余弦定理,求出cosA,从而求出A的值.(2)由a=及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式,利用不等式,即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到化简求值的目的.返回目录返回目录【解析】(1)∵cosA=又∵A∈(0,180°),∴A=120°.(2)由a=,得b2+c2=3-bc,又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取
8、等号）.即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.(3)由正弦定理得∴返回目录返回目录【评析】(1)在三角形中求角,往往选择先求该角的余弦值,然后利
