22-正余弦定理及其应用(ⅰ)

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1、4.6正余弦定理及其应用(I)教学目标重点：掌握止弦定理，余弦定理，并能解决一些简单的三角形计算问题.难点：能熟练应用正眩定理、余眩定理及相关公式解决三角形的有关问题.知识点：运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，正余弦定理的综合应用.能力点：能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力.教育点：通过正余弦定理学习培养学生解决一些测量和儿何计算有关的实际问题.自主探究点：与三角恒等变换相结合，自主探究三角形中的边与角数量关系、三角形形状的判断等.易错点：利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和

2、角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行检验.考试点：利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.拓展点：利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题.学法与教具1.学法：讲练结合法、自主探究法、分组讨论法.2.教具：三角尺、多媒体.二、【知识梳理】1.正弦定理：===2R,其中是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为：(1)abc=；(2)a=,b=,c=；(3)sinA=,sinB=,sinC=等形式，以解决不同的三角形问题.常用推论sinA:sinB:sinC=tz:Z?:c,

3、a2=abA=sinBsinC,2a=b+c分2sinA=sinB+sinC.1.余弦定理：a2=,b2=,c2=•余弦定理的推论：cosA=,cosB=,cosC=.2.三角形面积公式（1）S='（1儿（/z表示q边上的高）：（2）SABC=—ahsinC==—hcsmA=—2a2247?-{a+b+c^r（/?是三角形外接圆的半径，尸是三角形内切圆的半径），并可由此计算Rj•（3）2S=yjp（p-a）（p-b）（p-c）（其中p=、a+b+c））3.在解三角形时，正弦定理可解决三类问题：（1）已知两角及任一边，求英它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角•情况（2）中

4、结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.（3）三角形边角互化.其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知和A,用正弦定理求B时的各种情况：⑴若A为锐角时：若avbsinA,无解；若a=bsinA,一解（直角）；若bsinAVdvb,两解（一锐，一钝）；若a'b,一解（锐角）•若4为直角和钝角时，若a>b一解，若aba>b解的个数一解两解一解一解余眩定理可解决三类问题：（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2）已知三边问题.（3）三角形边角互化.4.三

5、角形屮的基本关系在三角形中，有以下常用结论：（1）a+b>c,b+c>a,c+a>bX(2)ci>b<=>ABsinAsinB；(3)A+B+C=tt,=；—222⑷sin(A+B)=,cos(A+B)=sm2三、【范例导航】1•利用正弦定理求解三角形例1.（1）在ABC中，a=观,b=近,B=45°.求角4、C和边（2）在AABC中，tz=8,B=60°,C=75°,求边b和c・【分析】（1）已知两角一•边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.【解答】

6、(1)由正弦定理得—,丁=————,sinA—-^―sinAsinBsinAsin45°2:.4=60。或A=120。.当“60。时，3807。-60—75。，*需二斗当A=120°时，C=180o-45°-120o=15°,bsinCc-sin3V6-V2~2~(2)B=60°,C=75°,.A=45O.由正弦定理一^—=>—=—^-sinAsinBsinCasinBsinA=4/6,c/smC=4亦+4.•.Z?=4a/6,c=4a/3+4.sinA【点评】己知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无

7、解三种情况（见知识梳理4）.变式训练：已知G,b,c・分别是AABC的三个内角A、B、C所对的边，若a=,b=羽,A+C=2B,则7T【解答】,62.利用余眩定理求解三角形C0QRh例2.在AABCa、b、c分别是角的对边，且=・cosC2。+c（1）求角B的大小；⑵若b=ga+c=4,求MBC的面积.【分析】（1）根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边或者是边化角进行变形是迅速解答本题的关键.（2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方